Câu 3-5 (1,5 điểm) 

Cho hai biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}}+3}{3-\sqrt{\mathrm{x}}}$  và $\mathrm{B}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{\sqrt{\mathrm{x}}+3}+\frac{2\sqrt{\mathrm{x}}}{\sqrt{\mathrm{x}}-3}-\frac{3\mathrm{x}+9}{\mathrm{x}-9}$  với $\mathrm{x}\ge 0;\mathrm{x}\ne 9$ .

1) Tính giá trị của A biểu thức khi x=16.

Với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\), ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 9}}{{x - 9}}\)

 \( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{3x + 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

 \( = \frac{{x - 3\sqrt x + 2x + 6\sqrt x - 3x - 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)\( = \frac{{3\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

 \( = \frac{{3\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)\( = \frac{3}{{\sqrt x + 3}}.\)

Vậy với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\) thì \(B = \frac{3}{{\sqrt x + 3}}.\)

Với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\), ta có:

\[AB = \frac{{\sqrt x + 3}}{{3 - \sqrt x }} \cdot \frac{3}{{\sqrt x + 3}} = \frac{3}{{3 - \sqrt x }}.\]

Theo bài, \(AB \le 1\) nên \(\frac{3}{{3 - \sqrt x }} \le 1\)

Hay \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt x - 3}} \le 1\)

\(1 + \frac{3}{{\sqrt x - 3}} \ge 0\)

\(\frac{{\sqrt x - 3 + 3}}{{\sqrt x - 3}} \ge 0\)

\(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} \ge 0.\,\,\,\left( * \right)\)

Trường hợp 1: Nếu \(x = 0,\) ta có \(\sqrt x = 0\) và \(\sqrt x - 3 = - 3 \ne 0\) nên \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} = 0\) nên \(x = 0\) là một nghiệm của bất phương trình (*0.

Trường hợp 2: Nếu \(x > 0,\,\,x \ne 9\) thì \(\sqrt x > 0\) nên giải bất phương trình (*) ta có:

\(\sqrt x - 3 > 0\) hay \(\sqrt x > 3\) suy ra \(x > 9.\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\) ta có \(x > 9.\)

Vậy \(x = 0\) và \(x > 9\) thì \(A.B \le 1\).