Câu 10-12. (4,0 điểm)

Cho \(\Delta ABC\) nhọn \[\left( {AB > AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \[\left( {O;R} \right).\] Đường cao \[BE,\] \[CF\] cắt nhau tại \[H.\] Lấy \[M\] là trung điểm \[BC.\]

a) Chứng minh tứ giác \[BCEF\] nội tiếp.

⦁ Xét \(\Delta OBC\) cân tại \(O\) (do \(OB = OC)\) nên đường trung tuyến \(OM\) đồng thời là đường cao của tam giác, hay \(OM \bot BC\) tại \(M.\)

⦁ Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \[\widehat {BAD} = \widehat {BCD}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD)\) hay \(\widehat {MAB} = \widehat {MCD}.\)

Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCD\) có: \(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {MAB} = \widehat {MCD}.\)

Do đó  (g.g). Suy ra: \(\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MD}}\) hay \(MB \cdot MC = MA \cdot MD.\)

Mà \(MB = MC\) nên suy ra: \(M{B^2} = MA \cdot MD.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \[\widehat {ACK} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra \(KC \bot AC.\)

Lại có \(BE \bot AC\) nên \[BE\,{\rm{//}}\,KC\] hay \[BH\,{\rm{//}}\,KC.\]

Chứng minh tương tự, ta có \(KB\,{\rm{//}}\,CH.\)

Tứ giác \(BHCK\) có \[BH\,{\rm{//}}\,KC\] và \(KB\,{\rm{//}}\,CH\) nên là hình bình hành, do đó hai đường chéo \(BC,\,\,HK\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(M\) cũng là trung điểm của \(HK.\)

Xét \(\Delta AHK\) có \(O,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(AK,\,\,HK\) nên \(OM\) là đường trung bình của tam giác. Suy ra \(OM = \frac{1}{2}AH.\)