(0,5 điểm) Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $20\mathrm{c}\mathrm{m}.$ Bạn Nam cắt một hình chữ nhật $MNPQ$ sao cho $M,N$ thuộc $BC;P,Q$ lần lượt thuộc $AC,AB.$ Đặt cạnh $MN=PQ=x.$ Tìm $x$ để diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ lớn nhất.

Vì $ABC$ là tam giác đều cạnh $20\mathrm{c}\mathrm{m}$ nên $BC=20\mathrm{c}\mathrm{m}$ và $\hat{B}=\hat{C}={60}^{\circ }.$

Xét $\mathrm{\Delta }BMQ$ vuông tại $M$ có $\hat{B}+\widehat{BQM}={90}^{\circ }$ và $\mathrm{\Delta }CNP$ vuông tại $N$ có $\hat{C}+\widehat{CPN}={90}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{BQM}=\widehat{CPN}.$

Vì $MNPQ$ là hình chữ nhật nên $QM=PN.$

Xét $\mathrm{\Delta }BMQ$ và $\mathrm{\Delta }CNP$ có: $\widehat{BMQ}=\widehat{CNP}={90}^{\circ },$ $QM=PN$ và $\widehat{BQM}=\widehat{CPN}.$

Do đó $\mathrm{\Delta }BMQ=\mathrm{\Delta }CNP$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra $BM=CN$ (hai cạnh tương ứng).

Do $BC=20\mathrm{c}\mathrm{m}$ và $MN=x(\mathrm{c}\mathrm{m})$ nên $BM=CN=\frac{20-x}{2}(\mathrm{c}\mathrm{m})$  $\left(0<x<20\right).$

Xét $\mathrm{\Delta }BMQ$ vuông tại $M$ có $QM=BM\cdot \tan B=\frac{20-x}{2}\cdot \tan {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}\left(20-x\right)}{2}(\mathrm{c}\mathrm{m}).$

Diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ là: $S=QM\cdot MN=\frac{\sqrt{3}\left(20-x\right)}{2}\cdot x=\frac{\sqrt{3}}{x}\left(20x-x^2\right)(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2).$

Để diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ lớn nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S.$

Ta có $S=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(20x-x^2\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(20x-x^2-100+100\right)$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[100-{\left(x-10\right)}^2\right]=50\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}{\left(x-10\right)}^2.$

Với mọi $0<x<20$ ta có ${\left(x-10\right)}^2\ge 0$ nên $50\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}{\left(x-10\right)}^2\le 50\sqrt{3}$ hay $S\le 50\sqrt{3}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left(x-10\right)}^2=0,$ hay $x=10$ (thỏa mãn).

Vậy diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ lớn nhất bằng $50\sqrt{3}$ khi $x=10.$