Câu 6-8. (2,5 điểm)

1) Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể (không chứa nước) thì sau \[1\] giờ \[20\] phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong \[10\] phút rồi khóa lại, vòi thứ hai chảy tiếp trong \[12\] phút thì được \(\frac{2}{{15}}\) bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Gọi \(a,\,\,b\) lần lượt là chiều dài, chiều rộng ban đầu của mảnh đất hình chữ nhật \(\left( {a > b > 0} \right)\) (m).

Diện tích ban đầu của mảnh đất là: \(ab\) (m²).

Chu vi ban đầu của mảnh đất là:

\[2\left( {a + b} \right) = 82\] suy ra \[a + b = 41\] (1) (do đó \(0 < b < a < 41).\)

Sau khi tăng chiều dài thêm \[5\,{\rm{m}}\] thì mảnh đất có chiều dài mới là: \(a + 5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Sau khi gấp đôi chiều rộng thì mảnh đất có chiều rộng mới là: \(2b{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích mới của mảnh đất là: \[\left( {a + 5} \right)2b\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\]

Theo đề bài, diện tích của hình mới tăng thêm \[560\,\,{{\rm{m}}^2}\] nên ta có phương trình:

\[\left( {a + 5} \right)2b = ab + 560\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 41\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {a + 5} \right)2b = ab + 560\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ (1) ta có \[b = 41 - a\], thay vào phương trình (2), ta được:

\(\left( {a + 5} \right)2\left( {41 - a} \right) = \;a\left( {41 - a} \right) + \;560\)

Giải phương trình:

\(\left( {a + 5} \right)2\left( {41 - a} \right) = \;a\left( {41 - a} \right) + \;560\)

\(\left( {a\; + \;5} \right)\left( {82\; - \;2a} \right)\; = \;a\left( {41\; - \;a} \right)\; + \;560\)

\(82a - 2{a^2}\; + \;410\; - 10a\; = \;41a\; - \;{a^2}\; + \;560\)

\({a^2} - 31a + 150 = 0\)

\({a^2} - 6a - 25a + 150 = 0\)

\(a\left( {a - 6} \right) - 25\left( {a - 6} \right) = 0\)

\(\left( {a - 6} \right)\left( {a - 25} \right) = 0\)

 \(a = \;6\) hoặc \(a = 25\).

Nếu \(a = 6\) thì \[b = 41 - 6 = 35\] (không thỏa mãn \(a > b).\)

Nếu \(a = 25\) thì \(b = 41 - 25 = 16\) (thỏa mãn).

Vậy chiều dài, chiều rộng ban đầu lần lượt là \[25\,{\rm{m}}\] và \[16\,{\rm{m}}\].

Xét phương trình \({x^2}\; - \;2\left( {m - 2} \right)x\; - \;6m\; + \;3\; = \;0\).

Phương trình trên có \(\Delta \;' = \;{\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - \;1 \cdot \left( { - 6m\; + \;3} \right)\)

\(\; = \;{m^2} - 4m + 4 + \;6m\; - \;3\)\(\; = \;{m^2} + 2m + 1\)\(\; = \;{\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m.\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta > 0,\] tức là\(\;\;{\left( {m + 1} \right)^2} > 0,\) hay \({\left( {m + 1} \right)^2} \ne 0,\) suy ra \(m + 1 \ne 0\) nên \(m \ne - 1.\)

Vậy điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[m \ne - 1\].