Câu 9-11: (3 điểm)

Cho đường tròn \[\left( O \right)\] với đường kính \[AC.\] Trên đoạn \[OC\] lấy điểm \[B\]. Gọi \[M\] là trung điểm \[AB,\] từ \[M\] kẻ dây \[DE\] vuông góc với \[AB.\] Từ \[B\] kẻ \[BF\] vuông góc với \[CD\] \[\left( {F \in CD} \right).\]

a) Chứng minh tứ giác \[BMDF\] nội tiếp.

Do đó $M$ là trung điểm của $DE.$

Xét tứ giác $ADBE$ có $M$ là trung điểm của hai đường chéo $DE,AB$ nên $ADBE$ là hình bình hành.

Lại có $AB\mathrm{\perp }DE$ nên tứ giác $ADBE$ là hình thoi.

⦁ Xét đường tròn $\left(O\right)$ có $\widehat{ADC}={90}^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $AD\mathrm{\perp }DC.$

Do tứ giác $ADBE$ là hình thoi nên $AD//BE,$ suy ra $BE\mathrm{\perp }DC.$

Mà $BF\mathrm{\perp }DC$ suy ra ba điểm $E,B,F$ thẳng hàng.

Xét $\mathrm{\Delta }DEF$ vuông tại $F$ có $FM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $DE$ nên $MF=\frac{1}{2}DE=DM.$ (3)

Xét $\mathrm{\Delta }ADM$ và $\mathrm{\Delta }DCM$ có: $\widehat{AMD}=\widehat{DMC}={90}^{\circ }$ và $\widehat{DAM}=\widehat{CDM}$ (cùng phụ với $\widehat{ADM})$

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{DM}{CM}=\frac{AM}{DM}$ hay $D{M}^2=MA\cdot MC.$

Mà $MA=MB$ (do $M$ là trung điểm của $AB),$ suy ra $D{M}^2=MB\cdot MC$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra$M{F}^2=MB\cdot MC.$

Do đó \[\Delta BIM = \Delta AJM\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra \(MI = MJ\) (hai cạnh tương ứng).

Lại có \(MD = ME\) nên \(MD - MI = ME - MJ\) hay \(DI = EJ\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\frac{{DA}}{{DH}} + \frac{{DB}}{{DS}} = \frac{{DJ + JE}}{{DK}} = \frac{{DE}}{{DK}}.\)