Câu 28-30: (2,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) có đường kính \(AB\) cố định. Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(C\) sao cho \(AC = R.\) Qua \(C\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(CA.\) Lấy điểm \(M\) bất kỳ trên đường tròn \(\left( O \right),\,\,M\) khác \(A\) và \(B\). Tia \(BM\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(P.\) Tia \(CM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(N,\) tia \(PA\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(Q.\)
1) Chứng minh tứ giác \(ACPM\) là tứ giác nội tiếp.
Câu 28-30: (2,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) có đường kính \(AB\) cố định. Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(C\) sao cho \(AC = R.\) Qua \(C\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(CA.\) Lấy điểm \(M\) bất kỳ trên đường tròn \(\left( O \right),\,\,M\) khác \(A\) và \(B\). Tia \(BM\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(P.\) Tia \(CM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(N,\) tia \(PA\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(Q.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Vì điểm \(M\) nằm trên đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(\widehat {AMP} = 90^\circ .\)
\(\Delta AMP\) vuông tại \(M\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(AP.\) Do đó ba điểm \(A,\,\,M,\,\,P\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AP.\)
\(\Delta ACP\) vuông tại \(C\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(AP.\) Do đó ba điểm \(A,\,\,M,\,\,C\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AP.\)
Như vậy, bốn điểm \(A,\,\,C,\,\,P,\,\,M\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AP.\)
Vậy tứ giác \(ACPM\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AP.\)
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Tính \(BM \cdot BP\) theo \(R.\)
Giải bởi Vietjack
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta PBC\) có: \(\widehat {AMB} = \widehat {PCB} = 90^\circ \) và \(\widehat {CBP}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{AB}}{{PB}} = \frac{{BM}}{{BC}}\) hay \(BM \cdot BP = AB \cdot BC.\)
Mà \(BC = AB + AC = 2R + R = 3R.\)
Suy ra \(BM \cdot BP = AB \cdot BC = 2R \cdot 3R = 6{R^2}.\)
Câu 3:
3) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(CMB.\) Chứng minh rằng điểm \(G\) luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm \(M\) thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right).\)
Giải bởi Vietjack
Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC.\) Khi đó, \(KC = KB.\) (1)
Do \(G\) là trọng tâm của \(\Delta MBC\) nên \(\frac{{MG}}{{MK}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{KG}}{{KM}} = \frac{1}{3}.\)
Ta có \(KC = KA + CA = KA + R\) và \(KB = KO + OB = KO + R.\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(KA = KO.\) Do đó \(K\) là trung điểm của \(AO\) nên \(KA = KO = \frac{1}{2}AO.\) (3)
Gọi \(E,\,\,I\) là các điểm thuộc đoạn \(AO\) sao cho \(AE = EI = IO = \frac{1}{3}AO.\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{\frac{1}{3}AO}}{{\frac{1}{2}AO}} = \frac{2}{3}.\)
Xét \(\Delta AKM\) có \(\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{MG}}{{MK}} = \frac{2}{3}\) nên \(EG\,{\rm{//}}\,AM\) (định lí Thalès đảo).
Lại có \(AM \bot BM\) nên \(EG \bot BM.\) (5)
Ta có \[KB = KO + OB = KO + OA = KO + 2KO = 3KO\] nên \(\frac{{KO}}{{KB}} = \frac{1}{3}.\)
Xét \(\Delta BKM\) có \(\frac{{KO}}{{KB}} = \frac{{KG}}{{KM}} = \frac{1}{3}\) nên \(OG\,{\rm{//}}\,BM\) (định lí Thalès đảo). (6)
Từ (5) và (6) suy ra \(EG \bot OG\) hay \[\widehat {EGO} = 90^\circ .\]
Xét \(\Delta EGO\) vuông tại \(G\) có \(I\) là trung điểm của cạnh huyền \(EO\) nên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta EGO\) có tâm là \(I\) và bán kính bằng \(\frac{{EO}}{2}.\)
Do \(AB\) cố định nên \(O,\,\,E,\,\,I\) cố định.
Như vậy, điểm \(G\) nằm trên đường tròn đường kính \(EO\) cố định.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Để đồ thị của hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2}\,\,\left( {m \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) thì tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn hàm số đó.
Thay \(x = - 1,\,\,y = 2\) vào hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2},\) ta được:
\(2 = \left( {m - 1} \right) \cdot {\left( { - 1} \right)^2}\) hay \(m - 1 = 2,\) nên \(m = 3\) (thỏa mãn).
Vậy \(m = 3.\)
Câu 2
![Cho tam giác đều \[MNP\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) như hình vẽ. Phép quay ngược chiều \(240^\circ \) tâm \[O\] biến các điểm \(N,\,\,M,\,\,P\) thành các điểm (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/03/12-1741763486.png)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
![Cho tam giác đều \[MNP\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) như hình vẽ. Phép quay ngược chiều \(240^\circ \) tâm \[O\] biến các điểm \(N,\,\,M,\,\,P\) thành các điểm (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/03/13-1741763442.png)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Các cung \(MN,\,\,NP,\,\,PM\) chia đường tròn \(\left( O \right)\) thành ba cung có số đo bằng nhau, suy ra mỗi cung có số đo bằng \[\frac{{360^\circ }}{3} = 120^\circ .\]
Phép quay ngược chiều \(240^\circ \) tâm \[O\] biến các điểm \(N,\,\,M,\,\,P\) thành các điểm \(M,\,\,P,\,\,N.\)Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. 1 110 m.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập