Câu hỏi:
12/03/2025 143
Câu 28-30: (2,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) có đường kính \(AB\) cố định. Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(C\) sao cho \(AC = R.\) Qua \(C\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(CA.\) Lấy điểm \(M\) bất kỳ trên đường tròn \(\left( O \right),\,\,M\) khác \(A\) và \(B\). Tia \(BM\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(P.\) Tia \(CM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(N,\) tia \(PA\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(Q.\)
1) Chứng minh tứ giác \(ACPM\) là tứ giác nội tiếp.
Câu 28-30: (2,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) có đường kính \(AB\) cố định. Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(C\) sao cho \(AC = R.\) Qua \(C\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(CA.\) Lấy điểm \(M\) bất kỳ trên đường tròn \(\left( O \right),\,\,M\) khác \(A\) và \(B\). Tia \(BM\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(P.\) Tia \(CM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(N,\) tia \(PA\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(Q.\)
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Vì điểm \(M\) nằm trên đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(\widehat {AMP} = 90^\circ .\)
\(\Delta AMP\) vuông tại \(M\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(AP.\) Do đó ba điểm \(A,\,\,M,\,\,P\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AP.\)
\(\Delta ACP\) vuông tại \(C\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(AP.\) Do đó ba điểm \(A,\,\,M,\,\,C\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AP.\)
Như vậy, bốn điểm \(A,\,\,C,\,\,P,\,\,M\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AP.\)
Vậy tứ giác \(ACPM\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AP.\)
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Tính \(BM \cdot BP\) theo \(R.\)
Lời giải của GV VietJack
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta PBC\) có: \(\widehat {AMB} = \widehat {PCB} = 90^\circ \) và \(\widehat {CBP}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{AB}}{{PB}} = \frac{{BM}}{{BC}}\) hay \(BM \cdot BP = AB \cdot BC.\)
Mà \(BC = AB + AC = 2R + R = 3R.\)
Suy ra \(BM \cdot BP = AB \cdot BC = 2R \cdot 3R = 6{R^2}.\)
Câu 3:
3) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(CMB.\) Chứng minh rằng điểm \(G\) luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm \(M\) thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right).\)
Lời giải của GV VietJack
Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC.\) Khi đó, \(KC = KB.\) (1)
Do \(G\) là trọng tâm của \(\Delta MBC\) nên \(\frac{{MG}}{{MK}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{KG}}{{KM}} = \frac{1}{3}.\)
Ta có \(KC = KA + CA = KA + R\) và \(KB = KO + OB = KO + R.\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(KA = KO.\) Do đó \(K\) là trung điểm của \(AO\) nên \(KA = KO = \frac{1}{2}AO.\) (3)
Gọi \(E,\,\,I\) là các điểm thuộc đoạn \(AO\) sao cho \(AE = EI = IO = \frac{1}{3}AO.\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{\frac{1}{3}AO}}{{\frac{1}{2}AO}} = \frac{2}{3}.\)
Xét \(\Delta AKM\) có \(\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{MG}}{{MK}} = \frac{2}{3}\) nên \(EG\,{\rm{//}}\,AM\) (định lí Thalès đảo).
Lại có \(AM \bot BM\) nên \(EG \bot BM.\) (5)
Ta có \[KB = KO + OB = KO + OA = KO + 2KO = 3KO\] nên \(\frac{{KO}}{{KB}} = \frac{1}{3}.\)
Xét \(\Delta BKM\) có \(\frac{{KO}}{{KB}} = \frac{{KG}}{{KM}} = \frac{1}{3}\) nên \(OG\,{\rm{//}}\,BM\) (định lí Thalès đảo). (6)
Từ (5) và (6) suy ra \(EG \bot OG\) hay \[\widehat {EGO} = 90^\circ .\]
Xét \(\Delta EGO\) vuông tại \(G\) có \(I\) là trung điểm của cạnh huyền \(EO\) nên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta EGO\) có tâm là \(I\) và bán kính bằng \(\frac{{EO}}{2}.\)
Do \(AB\) cố định nên \(O,\,\,E,\,\,I\) cố định.
Như vậy, điểm \(G\) nằm trên đường tròn đường kính \(EO\) cố định.
Nhà sách VIETJACK:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
1) Tìm tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2}\,\,\left( {m \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\).
Xem đáp án »
12/03/2025
571
Câu 2:
Cho tam giác đều \[MNP\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) như hình vẽ. Phép quay ngược chiều \(240^\circ \) tâm \[O\] biến các điểm \(N,\,\,M,\,\,P\) thành các điểm
![Cho tam giác đều \[MNP\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) như hình vẽ. Phép quay ngược chiều \(240^\circ \) tâm \[O\] biến các điểm \(N,\,\,M,\,\,P\) thành các điểm (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/03/12-1741763486.png)
Xem đáp án »
12/03/2025
404
Câu 3:
Nhóm I có 4 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Cô giáo chọn ngẫu nhiên 2 học \(\sinh \) của nhóm I để tham gia một trò chơi. Tính xác suất để 2 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ.
Xem đáp án »
12/03/2025
350
Câu 4:
Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh \(2\sqrt 2 \;{\rm{cm}}\) là
Xem đáp án »
12/03/2025
344
Câu 5:
Số đối của \(A = \sqrt[3]{{ - 8}} - \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2}} \) là
Xem đáp án »
12/03/2025
244
Câu 6:
Phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 2m = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn \(x\) khi
Xem đáp án »
12/03/2025
209
Câu 7:
Tất cả các giá trị của \(x\) để biểu thức \(\sqrt {2x - 4} \) xác định là
Xem đáp án »
12/03/2025
189
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận