Câu 28-30: (2,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) có đường kính \(AB\) cố định. Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(C\) sao cho \(AC = R.\) Qua \(C\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(CA.\) Lấy điểm \(M\) bất kỳ trên đường tròn \(\left( O \right),\,\,M\) khác \(A\) và \(B\). Tia \(BM\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(P.\) Tia \(CM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(N,\) tia \(PA\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(Q.\)

1) Chứng minh tứ giác \(ACPM\) là tứ giác nội tiếp.

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta PBC\) có: \(\widehat {AMB} = \widehat {PCB} = 90^\circ \) và \(\widehat {CBP}\) là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{AB}}{{PB}} = \frac{{BM}}{{BC}}\) hay \(BM \cdot BP = AB \cdot BC.\)

Mà \(BC = AB + AC = 2R + R = 3R.\)

Suy ra \(BM \cdot BP = AB \cdot BC = 2R \cdot 3R = 6{R^2}.\)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC.\) Khi đó, \(KC = KB.\) (1)

Do \(G\) là trọng tâm của \(\Delta MBC\) nên \(\frac{{MG}}{{MK}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{KG}}{{KM}} = \frac{1}{3}.\)

Ta có \(KC = KA + CA = KA + R\) và \(KB = KO + OB = KO + R.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(KA = KO.\) Do đó \(K\) là trung điểm của \(AO\) nên \(KA = KO = \frac{1}{2}AO.\) (3)

Gọi \(E,\,\,I\) là các điểm thuộc đoạn \(AO\) sao cho \(AE = EI = IO = \frac{1}{3}AO.\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{\frac{1}{3}AO}}{{\frac{1}{2}AO}} = \frac{2}{3}.\)

Xét \(\Delta AKM\) có \(\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{MG}}{{MK}} = \frac{2}{3}\) nên \(EG\,{\rm{//}}\,AM\) (định lí Thalès đảo).

Lại có \(AM \bot BM\) nên \(EG \bot BM.\) (5)

Ta có \[KB = KO + OB = KO + OA = KO + 2KO = 3KO\] nên \(\frac{{KO}}{{KB}} = \frac{1}{3}.\)

Xét \(\Delta BKM\) có \(\frac{{KO}}{{KB}} = \frac{{KG}}{{KM}} = \frac{1}{3}\) nên \(OG\,{\rm{//}}\,BM\) (định lí Thalès đảo). (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(EG \bot OG\) hay \[\widehat {EGO} = 90^\circ .\]

Xét \(\Delta EGO\) vuông tại \(G\) có \(I\) là trung điểm của cạnh huyền \(EO\) nên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta EGO\) có tâm là \(I\) và bán kính bằng \(\frac{{EO}}{2}.\)

Do \(AB\) cố định nên \(O,\,\,E,\,\,I\) cố định.

Như vậy, điểm \(G\) nằm trên đường tròn đường kính \(EO\) cố định.