Câu 18-20: (2,5 điểm) Cho đường tròn \[\left( {O;{\rm{ }}R} \right)\], một đường thẳng \(d\) cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt, từ một điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\) nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến \(MC,{\rm{ }}MD\) tới đường tròn (\(C,\,\,D\) là tiếp điểm).
1) Chứng minh bốn điểm \(M,\,\,C,\,\,O,\,\,D\) cùng thuộc một đường tròn.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Vì \(MC,{\rm{ }}MD\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(OC \bot MC\,;\,\,OD \bot MD\).
Gọi \[O'\] là trung điểm của \[MO\] suy ra \(O'O = O'M = \frac{1}{2}MO & \left( 1 \right)\)
Xét tam giác \[OCM\] vuông tại \[C\] (cmt) có \(CO' = \frac{1}{2}MO\) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) \[\left( 2 \right)\]
Xét tam giác \[OCM\] vuông tại \[C\] (cmt) có \(O'D = \frac{1}{2}OM\)(tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) \[\left( 3 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\,,\,\,\left( 3 \right)\] suy ra \(O'O = O'M = O'D = O'C = \frac{1}{2}MO\).
Do đó bốn điểm \(M,\,\,C,\,\,O,\,\,D\) cùng thuộc một đường tròn đường tròn.
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Chứng minh \(OM \bot CD\). Đoạn thẳng \[OM\] cắt đường tròn tại \[I,\] chứng minh \[I\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[MCD.\]
Giải bởi Vietjack
Vì \(MC,{\rm{ }}MD\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(MC = MD\); \(MO\) là tia phân giác \(\widehat {CMD}.\)
Tam giác \(MCD\) cân tại \(M\) (vì \(MC = MD\)) có \(MO\) là tia phân giác \(\widehat {CMD}\) nên \(MO\) là đường cao của tam giác \(MCD\) hay \[OM \bot CD\].
Vì hai tiếp tuyến tại \(C\) và \(D\) cắt nhau tại \(M\) nên \[MO\] là phân giác của \(\widehat {MCD}\) \(\left( * \right)\)
Tam giác \[MOC\] vuông tại \[C\] (do \(MC\) là tiếp tuyến) nên \[\widehat {MCI} + \widehat {ICO} = 90^\circ & \left( 4 \right)\]
suy ra \[\widehat {ICD} + \widehat {CIO} = 90^\circ \,\,\,\left( 5 \right)\] mà \(\widehat {ICO} = \widehat {CIO}\) (do \(\Delta IOC\) cân)
Từ \(\left( 4 \right),\left( 5 \right),\left( 6 \right)\) suy ra \(\widehat {MCI} = \widehat {ICD}\) hay \[MI\] là phân giác của \(\widehat {CMD}\) \(\left( {**} \right)\)
Từ \(\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)\) suy ra \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[MCD\].
Câu 3:
3) Đường thẳng qua \[O\] và vuông góc với \[OM\] cắt các tia \[MC,{\rm{ }}MD\] theo thứ tự tại \[P\] và \[Q.\] Tìm vị trí của điểm \[M\] trên đường thẳng \[d\] sao cho diện tích tam giác \[MPQ\] nhỏ nhất.
Giải bởi Vietjack
Ta có tam giác \[MPQ\] cân tại \[M,\] có \[MO\] là đường cao nên diện tích của nó được tính:
\(S = 2{S_{OQM}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot OD \cdot QM = R\left( {MD + DQ} \right)\).
Để diện tích tam giác \[MPQ\] nhỏ nhất hay \[S\] nhỏ nhất thì \[MD + DQ\] nhỏ nhất.
Mặt khác, ta chứng minh được trong tam giác vuông \[OMQ\] ta có \(DM \cdot DQ = O{D^2} = {R^2}\) không đổi nên \[MD + DQ\] nhỏ nhất hay \[DM = DQ = R\].
Khi đó \(OM = R\sqrt 2 \) hay \[M\] là giao điểm của \[d\] với đường tròn tâm \[O\] bán kính \(R\sqrt 2 \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left( {\sqrt 2 \,;\,\,2} \right)\) nên thay \(x = \sqrt 2 \), \(y = 2\) vào hàm số \(y = a{x^2},\) ta được \(2 = a{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\) . Suy ra \(a = 1\).
Vậy \(a = 1\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(M\left( {\sqrt 2 \,;{\rm{ }}2} \right)\).
b) Ta có \[\Delta \, = \,{\left[ { - \left( {2m\, + \,1} \right)} \right]^2}\, - \,4 \cdot 1\, \cdot \,m\]
\[ = \,\left( {4{m^2}\, + \,4m\, + \,1} \right)\, - \,4m\]\[ = \,\,4{m^2}\, + \,1 > 0\] với mọi \[m \in \mathbb{R}\]
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1}\, + \,{x_2}\, = \,2m\, + \,1\\{x_1}{x_2}\, = \,m\end{array} \right.\].
Khi đó: \[\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 19\] hay \({x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 19\)
Suy ra \(m - \left( {2m + 1} \right) + 1 \ge 19\) hay \(m \le - 19\)
Vậy \(m \le - 19\) thoả mãn yêu cầu đề bài.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = - 1;\,\,y = 2\) vào hàm số \(y = - 2{x^2}\), ta được \( - 2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 2 \ne 2\) nên điểm \[\left( { - 1\,;\,\,2} \right)\] không thuộc đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}.\)
Thay \(x = 2\,;\,\,y = - 1\) vào hàm số \(y = - 2{x^2}\), ta được \( - 2 \cdot {2^2} = - 8 \ne - 1\) nên điểm \[\left( { - 1\,;\,\,2} \right)\] không thuộc đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}.\)
Thay \(x = - 1\,;\,\,y = - 2\) vào hàm số \(y = - 2{x^2}\), ta được \( - 2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} = - 2\) nên điểm \[\left( { - 1\,;\,\,2} \right)\] thuộc đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}.\)
Thay \(x = - 2\,;\,\,y = - 1\) vào hàm số \(y = - 2{x^2}\), ta được \[ - 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} = - 8 \ne 2\] nên điểm \(\left( { - 2\,;\,\, - 1} \right).\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}.\)
Vậy chọn đáp án C.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
![Cho hình vẽ. Số đo của góc \[\widehat {AMB}\] là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/03/19-1741778194.png)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập