Câu 16-17: (2,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) và các đường cao \(AD,\,\,BE\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H.\)
1) Chứng minh rằng tứ giác \(ABDE\) nội tiếp trong một đường tròn.
Câu 16-17: (2,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) và các đường cao \(AD,\,\,BE\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Do \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(AB.\) Do đó, ba điểm \(A,\,\,B,\,\,D\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB.\)
Tương tự, ba điểm \(A,\,\,B,\,\,E\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB.\)
Vậy tứ giác \(ABDE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AB.\)Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Chứng minh Giả sử \(B,\,\,C\) cố định và \(A\) di động sao cho tam giác \(ABC\) nhọn. Xác định vị trí của điểm \(A\) trên đường tròn \(\left( O \right)\) để \(DH \cdot DA\) lớn nhất.
Giải bởi Vietjack
Ta có \(\widehat {EBC} + \widehat C = 90^\circ \) và \(\widehat {DAC} + \widehat C = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của một tam giác vuông)
Suy ra \[\widehat {EBC} = \widehat {DAC}.\]
Xét \(\Delta DHB\) và \(\Delta DCA\) có: \(\widehat {HDB} = \widehat {CDA} = 90^\circ \) và \[\widehat {HBD} = \widehat {CAD}.\]
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{DB}}{{DA}}\) hay \(DH \cdot DA = DB \cdot DC.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(DB + DC \ge 2\sqrt {DB \cdot DC} \)
\(BC \ge 2\sqrt {DB \cdot DC} \)
\(\sqrt {DB \cdot DC} \le \frac{{BC}}{2}\)
\(DB \cdot DC \le \frac{{B{C^2}}}{4}.\)
Khi đó, \(DH \cdot DA \le \frac{{B{C^2}}}{4}.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(DB = DC\) hay \(D\) là trung điểm của \(BC.\)
Khi đó, \(AD \bot BC\) tại trung điểm \(D\) của \(BC\) nên \[AD\] là đường trung trực của \(BC.\) Lúc này, \(A\) là giao điểm của đường trung trực của \(BC\) với đường tròn \(\left( O \right)\).
Vậy điểm \(A\) là giao điểm của đường trung trực của \(BC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) thì \(DH \cdot DA\) lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là \(\frac{{B{C^2}}}{4}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình chữ nhật \(MNPQ\) là đường tròn đường kính \(MP.\)
Xét \(\Delta MPQ\) vuông tại \(Q,\) theo định lí Pythagore, ta có:
\(M{P^2} = M{Q^2} + P{Q^2} = {5^2} + {12^2} = 169.\) Do đó \(MP = 13{\rm{\;cm}}.\)
Vậy đường kính của đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình chữ nhật \(MNPQ\) là \(13{\rm{\;cm}}.\)Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Vận tốc của người đó chạy ngược chiều gió là: \(v - 6\) (km/h) \(\left( {v > 6} \right).\)
Thời gian người đó chạy hết quãng đường \(s\) (km) là: \(\frac{s}{{v - 6}}\) (giờ).
Khi đó, \(E\left( v \right) = c \cdot {v^3} \cdot \frac{s}{{v - 6}} = \frac{{cs{v^3}}}{{v - 6}}\) (Jun).
Để năng lượng tiêu hao ít nhất thì \(E\left( v \right) = \frac{{cs{v^3}}}{{v - 6}}\) nhỏ nhất.
Ta có: \[E\left( v \right) = \frac{{cs{v^3}}}{{v - 6}} = cs \cdot \left( {{v^2} + 6v + 36 + \frac{{216}}{{v - 6}}} \right) = cs \cdot \left[ {{{\left( {v - 6} \right)}^2} + 18\left( {v - 6} \right) + 108 + \frac{{216}}{{v - 6}}} \right]\]
\[ = cs \cdot \left[ {{{\left( {v - 6} \right)}^2} + \frac{{27}}{{v - 6}} + \frac{{27}}{{v - 6}} + 18\left( {v - 6} \right) + \frac{{162}}{{v - 6}} + 108} \right]\]
\[ \ge cs \cdot \left[ {3\sqrt[3]{{{{\left( {v - 6} \right)}^2} \cdot \frac{{27}}{{v - 6}} \cdot \frac{{27}}{{v - 6}}}} + 2\sqrt {18\left( {v - 6} \right) \cdot \frac{{162}}{{v - 6}}} + 108} \right]\] (Bất đẳng thức Cauchy)
\[ = cs \cdot \left[ {3 \cdot 9 + 2 \cdot 54 + 108} \right] = 243cs.\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {v - 6} \right)^2} = \frac{{27}}{{v - 6}}\\18\left( {v - 6} \right) = \frac{{162}}{{v - 6}}\end{array} \right.,\] tức là \(v = 9\) (thỏa mãn).
Vậy người đó cần chạy với vận tốc 9 km/h để năng lượng tiêu hao trong quá trình chạy là ít nhất bằng \(243cs\) Jun.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập