Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\).

Hướng dẫn giải:

1) Tập xác định: ℝ\{1}.

2) Sự biến thiên

\(y' = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0\) với mọi x ≠ 1.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \). Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đổ thị hàm số.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2\). Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; −1).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(( - 2;1),(2;5),\left( {\frac{5}{2};4} \right)\) và (4; 3).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) được cho ở Hình.

Quan sát đồ thị ở Hình, đồ thị đó nhận giao điểm I(1; 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.