Câu hỏi:
13/04/2025 125
Hai ròng rọc có tâm \[O\] bán kính \[R\]và tâm \[I\]bán kính \[r\]. Hai tiếp tuyến chung \[MN\]và\[PQ\] cắt nhau tại \[A\] tạo thành góc\[60^\circ \]. Tính độ dài dây cua – roa mắc qua hai ròng rọc trên theo \[r\](Biết \[R = 4r\]) như hình vẽ sau:
Câu hỏi trong đề: 62 bài tập Đa giác nội tiếp và đa giác đều có lời giải !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \[AM,{\rm{ }}AP\]là 2 tiếp tuyến chung của \[\left( O \right)\]và \[\left( I \right)\].
\[ \Rightarrow OA\] là phân giác của \[\widehat {MAP}\]\[ \Rightarrow \widehat {MAO} = 60^\circ :2 = 30^\circ \].
Ta có \[\Delta AMO\] và \[\Delta ANI\] là tam giác nửa đều \[ \Rightarrow OI = 8r - 2r = 6r\].
Mặt khác \[IM' \bot OM\] nên tứ giác \[MM'IN\] là hình chữ nhật\[ \Rightarrow MN = M'I\].
Theo định lý Pitago trong tam giác vuông \[OM'I\]:
\[M'I = \sqrt {I{M^2} - O{M^2}} = 3r\sqrt 3 \]
Ta có \[\widehat {NIQ} = 120^\circ = \widehat {MOP}\]
Số đo cung lớn .
Độ dài cung nhỏ là \[{l_1} = \frac{{2\pi r}}{3}\].
Độ dài cung lớnlà: \[{l_2} = \frac{{16\pi r}}{3}\].
Độ dài hai đoạn \[MN\] và \[PQ\] của ròng rọc : \[2MN = 2.3r\sqrt 3 = 6r\sqrt 3 \].
Vậy độ dài của dây cua-roa là :
\[2MN + {l_1} + {l_2} = 6r\sqrt 3 + \frac{{2\pi r}}{3} + \frac{{16\pi r}}{3} = 6r\left( {\pi + \sqrt 3 } \right)\].
\[ \Rightarrow OA\] là phân giác của \[\widehat {MAP}\]\[ \Rightarrow \widehat {MAO} = 60^\circ :2 = 30^\circ \].
Ta có \[\Delta AMO\] và \[\Delta ANI\] là tam giác nửa đều \[ \Rightarrow OI = 8r - 2r = 6r\].
Mặt khác \[IM' \bot OM\] nên tứ giác \[MM'IN\] là hình chữ nhật\[ \Rightarrow MN = M'I\].
Theo định lý Pitago trong tam giác vuông \[OM'I\]:
\[M'I = \sqrt {I{M^2} - O{M^2}} = 3r\sqrt 3 \]
Ta có \[\widehat {NIQ} = 120^\circ = \widehat {MOP}\]
Số đo cung lớn .
Độ dài cung nhỏ là \[{l_1} = \frac{{2\pi r}}{3}\].
Độ dài cung lớnlà: \[{l_2} = \frac{{16\pi r}}{3}\].
Độ dài hai đoạn \[MN\] và \[PQ\] của ròng rọc : \[2MN = 2.3r\sqrt 3 = 6r\sqrt 3 \].
Vậy độ dài của dây cua-roa là :
\[2MN + {l_1} + {l_2} = 6r\sqrt 3 + \frac{{2\pi r}}{3} + \frac{{16\pi r}}{3} = 6r\left( {\pi + \sqrt 3 } \right)\].
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi \[O\] là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\].
\[O\] là giao điểm 3 đường phân giác.
Mà \[\Delta ABC\] đều nên \[AH\]là đường phân giác cũng là đường cao, đường trung tuyến.
\[O\] là trọng tâm \[\Delta ABC\] và \[AH = 3.OH = 3.R\].
và \[\widehat {HAC} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = {30^0};\,\,BC = 2.HC\]
Xét \[\Delta HAC\]vuông tại \[H\].
\[ \Rightarrow HC = AH.\tan 30^\circ = 3R.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = R.\sqrt 3 \]
\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = AH.HC = 3R.R\sqrt 3 {\rm{ = 3}}\sqrt 3 {R^2}\]
\[ \Rightarrow 1\,200\,\, = \,\,3\sqrt 3 .{R^2}\,\]
\[ \Leftrightarrow R{\rm{ = }}\sqrt {\frac{{1200}}{{3\sqrt 3 }}} \,\, \approx 15,2\,\,\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Chu vi đường tròn (O) là \[2.3,14.15,2 \approx 95,5\](m)
Vậy bán kính \[\left( O \right)\]là \[15,2\]m; chu vi là \[95,5\]m.
\[O\] là giao điểm 3 đường phân giác.
Mà \[\Delta ABC\] đều nên \[AH\]là đường phân giác cũng là đường cao, đường trung tuyến.
\[O\] là trọng tâm \[\Delta ABC\] và \[AH = 3.OH = 3.R\].
và \[\widehat {HAC} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = {30^0};\,\,BC = 2.HC\]
Xét \[\Delta HAC\]vuông tại \[H\].
\[ \Rightarrow HC = AH.\tan 30^\circ = 3R.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = R.\sqrt 3 \]
\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = AH.HC = 3R.R\sqrt 3 {\rm{ = 3}}\sqrt 3 {R^2}\]
\[ \Rightarrow 1\,200\,\, = \,\,3\sqrt 3 .{R^2}\,\]
\[ \Leftrightarrow R{\rm{ = }}\sqrt {\frac{{1200}}{{3\sqrt 3 }}} \,\, \approx 15,2\,\,\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Chu vi đường tròn (O) là \[2.3,14.15,2 \approx 95,5\](m)
Vậy bán kính \[\left( O \right)\]là \[15,2\]m; chu vi là \[95,5\]m.
Lời giải
Kẻ \({\rm{OH}} \bot {\rm{AB}}\) tại \(H\), ta có:
Xét vuông tại \(H\), ta có:
Độ dài cung AB là:
Vậy chu vi sân khoảng 394,3 m.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
-
50 bài tập Một số yếu tố xác suất có lời giải
-
Đề thi tham khảo môn Toán vào 10 tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026
-
Đề thi minh họa (Dự thảo) TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đồng Nai
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Hà Nội
-
Đề thi thử TS vào 10 (Lần 2 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Hoằng Thanh_Tỉnh Thanh Hóa
-
Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Bình Phước
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận