Câu hỏi:
06/05/2025 12
(0,5 điểm) Cho \(a,\,\,b\) là hai số thực dương thỏa mãn \(ab \ge 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{\sqrt {ab} + 2}}{{\sqrt {ab} + 1}}.\)
(0,5 điểm) Cho \(a,\,\,b\) là hai số thực dương thỏa mãn \(ab \ge 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{\sqrt {ab} + 2}}{{\sqrt {ab} + 1}}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Với \(a > 0,\,\,b > 0,\) ta có:
\(P = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{\sqrt {ab} + 2}}{{\sqrt {ab} + 1}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + 1 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}}\)
\( = \left( {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + 1} \right) + \left( {\frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + 1} \right) + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\)
\( = \frac{{\sqrt a + \sqrt b + 1}}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\)
\( = \left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{1}{{\sqrt b + 1}}} \right) + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1.\)
Với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta chứng minh được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\) (1), dấu “=” xảy ra khi \(x = y.\)
Thật vậy, với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta có:
\({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)
\({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)
\({x^2} + {y^2} + 2xy \ge 4xy\)
\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)
\[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}} \ge \frac{{4xy}}{{xy\left( {x + y} \right)}}\]
\[\frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\]
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - y} \right)^2} = 0,\) tức là \(x = y.\)
Áp dụng (1) ta có \(\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{1}{{\sqrt b + 1}} \ge \frac{4}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}},\) dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt a + 1 = \sqrt b + 1,\) tức là \(a = b.\)
Từ đó suy ra \(P \ge \frac{{4\left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\,\,\,(2)\)
Ta có: \[M = \frac{{4\left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1 = 4\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}}} \right) + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\]
\[ = 3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{4}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}}.\]
Với \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có \(\sqrt a + \sqrt b \ge 2\sqrt {\sqrt {ab} } ,\) dấu “=” xảy ra khi \(a = b.\)
Từ đó suy ra \(M \ge 3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{2}{{\sqrt {\sqrt {ab} } + 1}}\) (3)
Từ (2) và (3) suy ra \(P \ge 3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{2}{{\sqrt {\sqrt {ab} } + 1}}\)
Đặt \(t = \sqrt {\sqrt {ab} } \,\,\left( {t \ge 1} \right)\) ta có:
\(3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{2}{{\sqrt {\sqrt {ab} } + 1}} = 3 + \frac{1}{{{t^2} + 1}} - \frac{2}{{t + 1}} = \frac{5}{2} + \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{t^2} + 1}} - \frac{2}{{t + 1}}} \right)\)
\( = \frac{5}{2} + \frac{{{t^3} - 3{t^2} + 3t - 1}}{{2\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)}} = \frac{5}{2} + \frac{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}{{2\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)}} \ge \frac{5}{2}\) (vì \(t \ge 1).\)
Suy ra \(P \ge \frac{5}{2}.\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\ab = 1\end{array} \right.\) tức là \(a = b = 1.\)
Vậy biểu thức \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{5}{2}\) khi \(a = b = 1.\)
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Để trang trí lớp, bạn Lan đã dùng 4 miếng bìa hình quạt tròn cung \(120^\circ ,\) bán kính 30 cm (hình vẽ) để gấp trang trí. Tổng diện tích các miếng bìa bạn Lan đã dùng là
Xem đáp án »
06/05/2025
32
Câu 3:
Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Xác suất của biến cố A: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8” là
Xem đáp án »
06/05/2025
28
Câu 4:
Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 6{\rm{\;cm}},\,\,AC = 8{\rm{\;cm}}.\)
Xem đáp án »
06/05/2025
26
Câu 5:
1) Tìm tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \left( {1 - m} \right){x^2}\left( {m \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 2; - 4} \right).\)
1) Tìm tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \left( {1 - m} \right){x^2}\left( {m \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 2; - 4} \right).\)
Xem đáp án »
06/05/2025
26
Câu 6:
Với \(a > 0,\,\,b < 0\) thì biểu thức \(A = \frac{{ - b}}{a}\sqrt {\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}}} \) bằng
Xem đáp án »
06/05/2025
24
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận