Câu hỏi:
06/05/2025 87
(0,5 điểm) Cho \(a,\,\,b\) là hai số thực dương thỏa mãn \(ab \ge 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{\sqrt {ab} + 2}}{{\sqrt {ab} + 1}}.\)
(0,5 điểm) Cho \(a,\,\,b\) là hai số thực dương thỏa mãn \(ab \ge 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{\sqrt {ab} + 2}}{{\sqrt {ab} + 1}}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Với \(a > 0,\,\,b > 0,\) ta có:
\(P = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{\sqrt {ab} + 2}}{{\sqrt {ab} + 1}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + 1 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}}\)
\( = \left( {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + 1} \right) + \left( {\frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + 1} \right) + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\)
\( = \frac{{\sqrt a + \sqrt b + 1}}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\)
\( = \left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{1}{{\sqrt b + 1}}} \right) + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1.\)
Với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta chứng minh được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\) (1), dấu “=” xảy ra khi \(x = y.\)
Thật vậy, với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta có:
\({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)
\({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)
\({x^2} + {y^2} + 2xy \ge 4xy\)
\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)
\[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}} \ge \frac{{4xy}}{{xy\left( {x + y} \right)}}\]
\[\frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\]
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - y} \right)^2} = 0,\) tức là \(x = y.\)
Áp dụng (1) ta có \(\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{1}{{\sqrt b + 1}} \ge \frac{4}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}},\) dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt a + 1 = \sqrt b + 1,\) tức là \(a = b.\)
Từ đó suy ra \(P \ge \frac{{4\left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\,\,\,(2)\)
Ta có: \[M = \frac{{4\left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1 = 4\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}}} \right) + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\]
\[ = 3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{4}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}}.\]
Với \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có \(\sqrt a + \sqrt b \ge 2\sqrt {\sqrt {ab} } ,\) dấu “=” xảy ra khi \(a = b.\)
Từ đó suy ra \(M \ge 3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{2}{{\sqrt {\sqrt {ab} } + 1}}\) (3)
Từ (2) và (3) suy ra \(P \ge 3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{2}{{\sqrt {\sqrt {ab} } + 1}}\)
Đặt \(t = \sqrt {\sqrt {ab} } \,\,\left( {t \ge 1} \right)\) ta có:
\(3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{2}{{\sqrt {\sqrt {ab} } + 1}} = 3 + \frac{1}{{{t^2} + 1}} - \frac{2}{{t + 1}} = \frac{5}{2} + \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{t^2} + 1}} - \frac{2}{{t + 1}}} \right)\)
\( = \frac{5}{2} + \frac{{{t^3} - 3{t^2} + 3t - 1}}{{2\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)}} = \frac{5}{2} + \frac{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}{{2\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)}} \ge \frac{5}{2}\) (vì \(t \ge 1).\)
Suy ra \(P \ge \frac{5}{2}.\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\ab = 1\end{array} \right.\) tức là \(a = b = 1.\)
Vậy biểu thức \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{5}{2}\) khi \(a = b = 1.\)
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
1) Lập bảng tần số tương đối chất lượng không khí tại thành phố A trong 40 ngày đó.
1) Lập bảng tần số tương đối chất lượng không khí tại thành phố A trong 40 ngày đó.
Xem đáp án »
06/05/2025
428
Câu 2:
Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 6{\rm{\;cm}},\,\,AC = 8{\rm{\;cm}}.\)
Xem đáp án »
06/05/2025
416
Câu 3:
Để trang trí lớp, bạn Lan đã dùng 4 miếng bìa hình quạt tròn cung \(120^\circ ,\) bán kính 30 cm (hình vẽ) để gấp trang trí. Tổng diện tích các miếng bìa bạn Lan đã dùng là
Xem đáp án »
06/05/2025
361
Câu 4:
1) Tìm tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \left( {1 - m} \right){x^2}\left( {m \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 2; - 4} \right).\)
1) Tìm tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \left( {1 - m} \right){x^2}\left( {m \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 2; - 4} \right).\)
Xem đáp án »
06/05/2025
346
Câu 6:
Nếu đặt một chiếc thang dài 4 m cách chân tường 2 m (hình vẽ) thì góc tạo bởi thang và mặt đất bằng
Xem đáp án »
06/05/2025
254
Câu 7:
Hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2}\,\,\left( {m \ne 1} \right)\) có đồ thị nằm phía trên trục hoành khi
Xem đáp án »
06/05/2025
252
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi tham khảo môn Toán vào 10 tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026
-
Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 1)
-
Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 4) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Huyện Giao Thủy_Tỉnh Nam Định
-
Đề thi thử TS vào 10 Tháng 5 năm học 2025 - 2026_Môn Toán
-
Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 4) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THPT Chu Văn An_Tỉnh Thái Nguyên
-
Đề thi thử TS vào 10 Tháng 5 năm học 2025 - 2026_Môn Toán
-
Đề thi thử TS vào 10 Tháng 6 năm học 2025 - 2026_Môn Toán
-
Đề thi thử TS vào 10 Tháng 6 năm học 2025 - 2026_Môn Toán
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận