(0,5 điểm) Cho \(a,\,\,b\) là hai số thực dương thỏa mãn \(ab \ge 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{\sqrt {ab} + 2}}{{\sqrt {ab} + 1}}.\)

Hướng dẫn giải

Với \(a > 0,\,\,b > 0,\) ta có:

\(P = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{\sqrt {ab} + 2}}{{\sqrt {ab} + 1}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + 1 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}}\)

 \( = \left( {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b + 1}} + 1} \right) + \left( {\frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + 1}} + 1} \right) + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\)

 \( = \frac{{\sqrt a + \sqrt b + 1}}{{\sqrt b + 1}} + \frac{{\sqrt b + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\)

 \( = \left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{1}{{\sqrt b + 1}}} \right) + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1.\)

Với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta chứng minh được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\) (1), dấu “=” xảy ra khi \(x = y.\)

Thật vậy, với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta có:

\({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)

\({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)

\({x^2} + {y^2} + 2xy \ge 4xy\)

\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)

\[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}} \ge \frac{{4xy}}{{xy\left( {x + y} \right)}}\]

\[\frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\]

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - y} \right)^2} = 0,\) tức là \(x = y.\)

Áp dụng (1) ta có \(\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{1}{{\sqrt b + 1}} \ge \frac{4}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}},\) dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt a + 1 = \sqrt b + 1,\) tức là \(a = b.\)

Từ đó suy ra \(P \ge \frac{{4\left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\,\,\,(2)\)

Ta có: \[M = \frac{{4\left( {\sqrt a + \sqrt b + 1} \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1 = 4\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}}} \right) + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - 1\]

\[ = 3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{4}{{\sqrt a + \sqrt b + 2}}.\]

Với \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có \(\sqrt a + \sqrt b \ge 2\sqrt {\sqrt {ab} } ,\) dấu “=” xảy ra khi \(a = b.\)

Từ đó suy ra \(M \ge 3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{2}{{\sqrt {\sqrt {ab} } + 1}}\) (3)

Từ (2) và (3) suy ra \(P \ge 3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{2}{{\sqrt {\sqrt {ab} } + 1}}\)

Đặt \(t = \sqrt {\sqrt {ab} } \,\,\left( {t \ge 1} \right)\) ta có:

\(3 + \frac{1}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{2}{{\sqrt {\sqrt {ab} } + 1}} = 3 + \frac{1}{{{t^2} + 1}} - \frac{2}{{t + 1}} = \frac{5}{2} + \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{t^2} + 1}} - \frac{2}{{t + 1}}} \right)\)

\( = \frac{5}{2} + \frac{{{t^3} - 3{t^2} + 3t - 1}}{{2\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)}} = \frac{5}{2} + \frac{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}{{2\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)}} \ge \frac{5}{2}\) (vì \(t \ge 1).\)

Suy ra \(P \ge \frac{5}{2}.\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\ab = 1\end{array} \right.\) tức là \(a = b = 1.\)

Vậy biểu thức \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{5}{2}\) khi \(a = b = 1.\)