Cho phương trình x² – 2x + m – 3 = 0 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho \(x_1^2 + {x_1}{x_2} = 2{x_2} - 12?\)

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình x² – 2(m + 1)x + 4m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [–(m + 1)]² – 1.4m = m² + 2m + 1 – 4m

= m² – 2m + 1 = (m – 1)² ≥ 0 với mọi m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì ∆' > 0, tức là (m – 1)² > 0, nên (m – 1)² ≠ 0, suy ra m ≠ 1.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(x = \frac{{m + 1 + m - 1}}{1} = 2m;\,\,x = \frac{{m + 1 - \left( {m - 1} \right)}}{1} = 2.\)

Trường hợp 1. Xét x₁ = 2m và x₂ = 2, thay vào x₁ = –3x₂, ta được:

2m = –3.2, suy ra m = –3 (thỏa mãn).

Trường hợp 2. Xét x₁ = 2 và x₂ = 2m thay vào x₁ = –3x₂, ta được:

2 = –3.2m. suy ra \(m = - \frac{1}{3}\) (thỏa mãn).

Do đó \(m \in \left\{ { - 3; - \frac{1}{3}} \right\}.\)

Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [– (m – 2)]² – 1.(2m – 5) = m² – 4m + 4 – 2m + 5

= m² – 6m + 9 = (m – 3)² ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right..\)

Theo bài, x₁(1 – x₂) + x₂(1 – x₁) < 4

x₁ – x₁x₂ + x₂ – x₁x₂ < 4

(x₁ + x₂) – 2x₁x₂ < 4

2(m – 2) – 2.(2m – 5) < 4

2m – 4 – 4m + 10 < 4

–2m < –2

m > 1.

Vậy ta chọn phương án B.