Cho phương trình x² – 2x + m – 3 = 0 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho \(x_1^2 + {x_1}{x_2} = 2{x_2} - 12?\)

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – (2m – 1)x + m² – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = [–(2m – 1)]² – 4.1.(m² – 1) = 4m² – 4m + 1 – 4m² + 4 = 5 – 4m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì ∆ > 0, tức là 5 – 4m > 0, hay \[m < \frac{5}{4}.\]

Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Ta có (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂

= (2m – 1)² – 4.(m² – 1)

= 4m² – 4m + 1 – 4m² + 4

^{= 5 – 4m.}

Theo bài, (x₁ – x₂)² = x₁ – 3x₂ nên x₁ – 3x₂ = 5 – 4m, suy ra x₁ = 3x₂ + 5 – 4m.

Thay vào (1), ta được:

3x₂ + 5 – 4m + x₂ = 2m – 1 hay 4x₂ = 6m – 6 nên \({x_2} = \frac{{3m - 3}}{2}.\)

Từ đó ta có \[{x_1} = 3 \cdot \frac{{3m - 3}}{2} + 5 - 4m = \frac{{9m - 9}}{2} + \frac{{10 - 8m}}{2} = \frac{{m + 1}}{2}.\]

Thay \[{x_1} = \frac{{m + 1}}{2}\] và \({x_2} = \frac{{3m - 3}}{2}\) vào (2) ta được:

\(\frac{{m + 1}}{2} \cdot \frac{{3m - 3}}{2} = {m^2} - 1\)

3m² – 3m + 3m – 3 = 4m² – 4

m² = 1

m = 1 hoặc m = –1 (thỏa mãn điều kiện).

Mà m là số nguyên dương, nên ta chọn m = 1.

Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình x² – 2(m + 1)x + 4m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [–(m + 1)]² – 1.4m = m² + 2m + 1 – 4m

= m² – 2m + 1 = (m – 1)² ≥ 0 với mọi m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì ∆' > 0, tức là (m – 1)² > 0, nên (m – 1)² ≠ 0, suy ra m ≠ 1.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(x = \frac{{m + 1 + m - 1}}{1} = 2m;\,\,x = \frac{{m + 1 - \left( {m - 1} \right)}}{1} = 2.\)

Trường hợp 1. Xét x₁ = 2m và x₂ = 2, thay vào x₁ = –3x₂, ta được:

2m = –3.2, suy ra m = –3 (thỏa mãn).

Trường hợp 2. Xét x₁ = 2 và x₂ = 2m thay vào x₁ = –3x₂, ta được:

2 = –3.2m. suy ra \(m = - \frac{1}{3}\) (thỏa mãn).

Do đó \(m \in \left\{ { - 3; - \frac{1}{3}} \right\}.\)

Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.