Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = –3x + 1 và parabol (P): y = mx² (với m là tham số và m ≠ 0). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về một phía đối với trục tung?

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = −2(m – 2)x + m² hay x² + 2(m – 2)x – m² = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (m – 2)² – 1.(–m²) = m² – 4m + 4 + m²

= 2m² – 4m + 4 = 2(m – 1)² + 2 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (x₁; y₁) và (x₂; y₂).

Theo định lí Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = - {m^2}\end{array} \right..\]

Mà –m² ≤ 0 với mọi m, nên x₁x₂ ≤ 0.

Lại có x₁ < x₂

Do đó |x₁| = –x₁; |x₂| = x₂.

Khi đó: |x₁| – |x₂| = –x₁ – x₂ = –(x₁ + x₂).

Theo bài, |x₁| – |x₂| = 6 nên –(x₁ + x₂) = 6

Suy ra 2(m – 2) = 6 nên m – 2 = 3, do đó m = 5.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = 2mx – 2m + 3 hay x² − 2mx + 2m – 3 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (−m)² – 1.(2m – 3) = m² – 2m + 3 = (m – 1)² + 2 > 0, với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ phân biệt, hay đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Khi đó, ta có: \[{y_1} = x_1^2;\,\,{y_2} = x_2^2.\]

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 3\end{array} \right..\)

Theo bài, tung độ hai giao điểm không vượt quá 9 tức là y₁ + y₂ ≤ 9, suy ra \[x_1^2 + x_2^2 \le 9\]

Ta có:

\[x_1^2 + x_2^2 \le 9\]

(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ ≤ 9

(2m)² – 2.(2m – 3) ≤ 9

4m² – 4m – 3 ≤ 0

(4m² – 6m) + (2m – 3) ≤ 0

2m(2m – 3) + (2m – 3) ≤ 0

(2m – 3)(2m + 1) ≤ 0

2m – 3 ≤ 0 và 2m + 1 ≥ 0 (do 2m – 3 < 2m + 1).

\(m \le \frac{3}{2}\) và \(m \ge - \frac{1}{2}\)

\( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{3}{2}\)

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 1}.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.