Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): \(y = - \frac{1}{4}{x^2}\) và đường thẳng (d): \(y = - \frac{1}{2}x + m\) (với m là tham số). Giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn 3x1 + 5x2 = 5 là
A. \(m = - \frac{5}{{16}}.\)
B. \(m = \frac{5}{{16}}.\)
C. \(m = - \frac{5}{4}.\)
D. \(m = \frac{5}{4}.\)
Quảng cáo
Trả lời:

Đáp án đúng là: A
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:
\( - \frac{1}{4}{x^2} = - \frac{1}{2}x + m\) hay x2 – 2x + 4m = 0. (*)
Phương trình (*) có:
∆' = (−1)2 – 1.4m = 1 – 4m.
Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x1, x2, tức là ∆' > 0, hay 1 – 4m > 0, nên \(m < \frac{1}{4}.\)
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = 4m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)
Từ (1), ta có x2 = 2 – x1, thay vào 3x1 + 5x2 = 5, ta được:
3x1 + 5(2 – x1) = 5
3x1 + 10 – 5x1 = 5
–2x1 = –5
\({x_1} = \frac{5}{2}.\)
Khi đó, \({x_2} = 2 - {x_1} = 2 - \frac{5}{2} = - \frac{1}{2}.\)
Thay \({x_1} = \frac{5}{2}\) và \({x_2} = - \frac{1}{2}\) vào (2), ta được:
\(\frac{5}{2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 4m\) hay \(4m = - \frac{5}{4}\) nên \(m = - \frac{5}{{16}}\) (thỏa mãn \(m < \frac{1}{4}).\)
Vậy ta chọn phương án A.
</></>
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. m = –1.
B. m = 1.
C. m = –5.
D. m = 5.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:
x2 = −2(m – 2)x + m2 hay x2 + 2(m – 2)x – m2 = 0. (*)
Phương trình (*) có:
∆' = (m – 2)2 – 1.(–m2) = m2 – 4m + 4 + m2
= 2m2 – 4m + 4 = 2(m – 1)2 + 2 > 0 với mọi m.
Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (x1; y1) và (x2; y2).
Theo định lí Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = - {m^2}\end{array} \right..\]
Mà –m2 ≤ 0 với mọi m, nên x1x2 ≤ 0.
Lại có x1 < x2>
(theo đề bài) nên x1 ≤ 0 và x2 ≥ 0.Do đó |x1| = –x1; |x2| = x2.
Khi đó: |x1| – |x2| = –x1 – x2 = –(x1 + x2).
Theo bài, |x1| – |x2| = 6 nên –(x1 + x2) = 6
Suy ra 2(m – 2) = 6 nên m – 2 = 3, do đó m = 5.
Vậy ta chọn phương án D.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:
x2 = 2mx – 2m + 3 hay x2 − 2mx + 2m – 3 = 0. (*)
Phương trình (*) có:
∆' = (−m)2 – 1.(2m – 3) = m2 – 2m + 3 = (m – 1)2 + 2 > 0, với mọi m.
Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1, x2 phân biệt, hay đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1); (x2; y2).
Khi đó, ta có: \[{y_1} = x_1^2;\,\,{y_2} = x_2^2.\]
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 3\end{array} \right..\)
Theo bài, tung độ hai giao điểm không vượt quá 9 tức là y1 + y2 ≤ 9, suy ra \[x_1^2 + x_2^2 \le 9\]
Ta có:
\[x_1^2 + x_2^2 \le 9\]
(x1 + x2)2 – 2x1x2 ≤ 9
(2m)2 – 2.(2m – 3) ≤ 9
4m2 – 4m – 3 ≤ 0
(4m2 – 6m) + (2m – 3) ≤ 0
2m(2m – 3) + (2m – 3) ≤ 0
(2m – 3)(2m + 1) ≤ 0
2m – 3 ≤ 0 và 2m + 1 ≥ 0 (do 2m – 3 < 2m + 1).
\(m \le \frac{3}{2}\) và \(m \ge - \frac{1}{2}\)
\( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{3}{2}\)
Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 1}.
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
>Câu 3
A. m < 0 và m ≠ –2.
>B. m < –1 và m ≠ –2.
>C. m > –1.
D. m ≥ –2.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.