Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): \(y = - \frac{1}{4}{x^2}\) và đường thẳng (d): \(y = - \frac{1}{2}x + m\) (với m là tham số). Giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn 3x₁ + 5x₂ = 5 là

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = −2(m – 2)x + m² hay x² + 2(m – 2)x – m² = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (m – 2)² – 1.(–m²) = m² – 4m + 4 + m²

= 2m² – 4m + 4 = 2(m – 1)² + 2 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (x₁; y₁) và (x₂; y₂).

Theo định lí Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = - {m^2}\end{array} \right..\]

Mà –m² ≤ 0 với mọi m, nên x₁x₂ ≤ 0.

Lại có x₁ < x₂

Do đó |x₁| = –x₁; |x₂| = x₂.

Khi đó: |x₁| – |x₂| = –x₁ – x₂ = –(x₁ + x₂).

Theo bài, |x₁| – |x₂| = 6 nên –(x₁ + x₂) = 6

Suy ra 2(m – 2) = 6 nên m – 2 = 3, do đó m = 5.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = mx + m + 1 hay x² – mx – m – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–m)² – 4.1.(–m – 1) = m² + 4m + 4 = (m + 2)² ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = m\\{x_1}{x_2} = - m - 1\end{array} \right..\)

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung, tức là hoành độ hai giao điểm có giá trị âm và khác nhau, điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt, tức là \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2}\; < 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} > 0\\m < 0\\ - m - 1 > 0\end{array} \right.,\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 0\\m < 0\\m < - 1\end{array} \right.,\) do đó m < –1 và m ≠ –2.

Vậy ta chọn phương án B.