Cho tứ diện ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M và hai đường thẳng AD, BC cắt nhau tại N như hình vẽ. Biết các góc ANB = a°; góc AMD = b°.

Số đo góc BCD bằng

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác NAB, có: \[\widehat {BAD} = 180^\circ - \widehat {BNA} - \widehat {NBA}\] (1)

Xét tam giác MAD, có: \[\widehat {BAD} = 180^\circ - \widehat {AMD} - \widehat {MDA}\] (2)

Cộng (1), (2) ta được: \[2\widehat {BAD} = 360^\circ - \widehat {BNA} - \widehat {NBA} - \widehat {AMD} - \widehat {MDA}\]

Do đó, \[2\widehat {BAD} = 360^\circ - a - b - \left( {\widehat {NBA} + \widehat {MDA}} \right)\]

Hay \[2\widehat {BAD} = 360^\circ - a - b - 180^\circ \] (\[\widehat {NBA} + \widehat {MDA} = 180^\circ \] do tứ giác BCDA nội tiếp)

Suy ra \[2\widehat {BAD} = 180^\circ - a - b\] nên \[\widehat {BAD} = 90^\circ - \frac{{a + b}}{2}\].

Có \[\widehat {BAD} + \widehat {BCD} = 180^\circ \] (tứ giác BCDA nội tiếp)

Do đó, \[\widehat {BCD} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{{a + b}}{2} = 90^\circ + \frac{{a + b}}{2}\].