Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:

\(0,212121... = \frac{a}{b}\); \(4,333... = \frac{c}{d}\). Khi đó

a) a + b = 40.

b) Ba số a;b; 58 tạo thành một cấp số cộng.

c) c + d = 15.

d) limc = 13.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Giả sử ta có \(\lim {u_n} = a\) và \(\lim {v_n} = b\) với a, b ∈ ℝ. Khi đó:

a) \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\).

b) \(\lim \left( {2{u_n} - {v_n}} \right) = 2a - b\).

c) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\).

d) \(\lim \frac{{{u_n} + 2{v_n}}}{{{u_n}}} = \frac{a}{b}\) với a ≠ 0.

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,511111... viết dạng phân số có dạng \(\frac{a}{b}\) với a; b là các số tự nhiên và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(\left| {b - 2a} \right|\).

Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với u_n = 4.3ⁿ – 7^{n + 1} ; v_n = 7ⁿ.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{v_n}}} = 0\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty \).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n} - {v_n}}}{{3{u_n} + 2{v_n}}} = \frac{8}{{19}}\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \).

Cho dãy số (u_n) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\forall n \in \mathbb{N}*\end{array} \right.\). Tính \(\lim \frac{{{u_n}}}{{5n + 2024}}\).

PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN

 Tìm \(\lim \left( {\frac{{3n - 1}}{{n{{.2}^n}}} + 2024} \right)\).