Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:

\(0,212121... = \frac{a}{b}\); \(4,333... = \frac{c}{d}\). Khi đó

a) a + b = 40.

b) Ba số a;b; 58 tạo thành một cấp số cộng.

c) c + d = 15.

d) limc = 13.

a) Ta có \(0,212121... = \frac{{21}}{{100}} + \frac{{21}}{{{{100}^2}}} + \frac{{21}}{{{{100}^3}}} + ...\)

Vì \(\frac{{21}}{{100}} + \frac{{21}}{{{{100}^2}}} + \frac{{21}}{{{{100}^3}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = \frac{{21}}{{100}}\)và \(q = \frac{1}{{100}}\) nên \(0,212121... = \frac{{\frac{{21}}{{100}}}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{7}{{33}}\).

Suy ra a = 7; b = 33. Do đó a + b = 40.

b) Ta có 2b = 2.33 = 66; a + 58 = 7 + 58 = 65.

Do 2b ≠ a + 58 nên ba số a; b; 58 không lập thành một cấp số cộng.

c) \(4,333... = 4 + \frac{3}{{10}} + \frac{3}{{{{10}^2}}} + ....\)

Ta có \(\frac{3}{{10}} + \frac{3}{{{{10}^2}}} + ....\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = \frac{3}{{10}}\) và \(q = \frac{1}{{10}}\) nên \(4,333... = 4 + \frac{{\frac{3}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{13}}{3}\).

Suy ra c = 13; d = 3. Do đó c + d = 16.

d) limc = lim13 = 13.

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai; c) Sai;    d) Đúng.