Tìm giá trị của tham số m để phương trình \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - \left( {m + 2} \right)x}} = {5^{27}}\) có hai nghiệm phân biệt a và b thỏa mãn điều kiện \({\log _a}\left( {{b^{{{\log }_a}b}}} \right) - 2{\log _{\sqrt a }}b + 4 = 0\).

\({\log _a}\left( {{b^{{{\log }_a}b}}} \right) - 2{\log _{\sqrt a }}b + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} - 4{\log _a}b + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {\log _a}b = 2 \Leftrightarrow b = {a^2}\).

Vậy ta cần tìm m để phương trình x² – (m + 2)x + 27 = 0 có hai nghiệm a, b dương phân biệt khác 1 và thỏa mãn b = a².

Giả sử phương trình có hai nghiệm a, b theo định lý Viet ta có:

$\left\{\begin{array}{l}a+b=m+2\\ ab=27\\ a^2=b\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}a+b=m+2\\ a^3=27\\ a^2=b\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=9\\ m+2=12\iff m=10\end{array}\right.$

Thử lại m =10 ta thấy phương trình x² – 12x + 27 = 0 có hai nghiệm 3; 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy m = 10 là giá trị cần tìm.

Trả lời: 10.