Tìm giá trị của tham số m để phương trình \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - \left( {m + 2} \right)x}} = {5^{27}}\) có hai nghiệm phân biệt a và b thỏa mãn điều kiện \({\log _a}\left( {{b^{{{\log }_a}b}}} \right) - 2{\log _{\sqrt a }}b + 4 = 0\).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 40 > 0\\60 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 40 < x < 60\).

log(x – 40) + log(60 – x) ≤ 2 Û log[(x – 40)(60 – x)] ≤ 2 Û (x – 40)(60 – x) ≤ 10²

Û −x² + 100x – 2500 ≤ 0 Û −(x – 50)² ≤ 0, ∀xÎ ℝ.

Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là D = (40; 60).

a) Bất pương trình tương đương với log[(x – 40)(60 – x)] ≤ 2.

b) Tập nghiệm của bất phương trình D = (40; 60). Suy ra a = 40; b = 60. Do đó b – a = 20.

c) Tập các số nguyên dương thỏa mãn bất phương trình trên là {41; 42; 43; 44; 45; ....; 59}. Có 19 số nguyên dương thỏa mãn.

d) Tập các số tự nhiên chẵn thỏa mãn bất phương trình trên là {42; 44; 46; ...; 58}. Có 9 số tự nhiên chẵn thỏa mãn yêu cầu.

 Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;    c) Đúng; d) Sai.

Ta có \({2^{{x^2}}}{.3^{x + 1}} = 2\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^{{x^2}}}{{.3}^{x + 1}}} \right) = {\log _2}2\)\( \Leftrightarrow {\log _2}{2^{{x^2}}} + {\log _2}{3^{x + 1}} = 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + \left( {x + 1} \right){\log _2}3 - 1 = 0\) Û (x + 1)(x – 1 + log₂3) = 0 Û x = −1 hoặc x = 1 – log₂3.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là −log₂3 ≈ −1,6.

Trả lời: −1,6.