Tìm giá trị của tham số m để phương trình \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - \left( {m + 2} \right)x}} = {5^{27}}\) có hai nghiệm phân biệt a và b thỏa mãn điều kiện \({\log _a}\left( {{b^{{{\log }_a}b}}} \right) - 2{\log _{\sqrt a }}b + 4 = 0\).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 40 > 0\\60 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 40 < x < 60\).

log(x – 40) + log(60 – x) ≤ 2 Û log[(x – 40)(60 – x)] ≤ 2 Û (x – 40)(60 – x) ≤ 10²

Û −x² + 100x – 2500 ≤ 0 Û −(x – 50)² ≤ 0, ∀xÎ ℝ.

Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là D = (40; 60).

a) Bất pương trình tương đương với log[(x – 40)(60 – x)] ≤ 2.

b) Tập nghiệm của bất phương trình D = (40; 60). Suy ra a = 40; b = 60. Do đó b – a = 20.

c) Tập các số nguyên dương thỏa mãn bất phương trình trên là {41; 42; 43; 44; 45; ....; 59}. Có 19 số nguyên dương thỏa mãn.

d) Tập các số tự nhiên chẵn thỏa mãn bất phương trình trên là {42; 44; 46; ...; 58}. Có 9 số tự nhiên chẵn thỏa mãn yêu cầu.

 Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;    c) Đúng; d) Sai.

Điều kiện: 2x + 4 > 0 Û x > −2.

log₂(2x + 4) ≥ 0 Û 2x + 4 ≥ 1 Û \(x \ge - \frac{3}{2}\).

Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình \(S = \left[ { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\).