Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu ta viết thêm chữ số 2 xen giữa chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục ta được số mới gấp 9 lần số cần tìm?

Hướng Dẫn Giải

Gọi số cần tìm là: \[\overline {abc} \].

Viết thêm chữ số 2 xem giữa chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục được: \[\overline {a2bc} \].

Theo đề bài ta có:

\[\overline {a2bc} = 9 \times \overline {abc} \]
\[1000 \times a + 200 + \overline {bc} = 9 \times \left( {100 \times a + \overline {bc} } \right)\]

\[1000 \times a + 200 + \overline {bc} = 9 \times a + 9 \times \overline {bc} \]

\[10 \times a + 200 = 8 \times \overline {bc} \]

\[5 \times a + 100 = 4 \times \overline {bc} \] (*)

Từ (*) thấy 5 × a + 100 có tận cùng là 0 (nếu a chẵn) hoặc 5 (nếu a lẻ).

Do đó, 4 × \[\overline {bc} \] phải có tận cùng là 0 hoặc 5. Nhưng 4 × \[\overline {bc} \] là số chẵn nên nó có tận cùng là 0 ⟹ c = 0 hoặc c = 5.

Nếu c = 0 thì (*) trở thành:

5 × a + 100 = 4 × \[\overline {b0} \]

5 × a + 100 = 4 × (10 × b + 0)

5 × a + 100 = 40 × b

a + 20 = 8 × b

Do: 20 < a + 8 < 30 Suy ra: 20 < 8 × b < 30 → 8 × b = 24 → b = 3 → a = 4.

Ta được số: 430.

Thử lại: 4230 = 9 × 470 # 430. Vậy 430 không phải số cần tìm.

Nếu c = 5 thì (*) trở thành:

5 × a + 100 = 4 × \[\overline {b5} \]

5 × a + 100 = 4 × (10 × b + 5)

5 × a + 100 = 40 × b + 20

5 × a + 80 = 20 × b

a + 16 = 4 × b

Do 16 < a + 16 < 26 nên 16 < 4 × b < 26 → 4 × b = 20 hoặc 4 × b = 24

Suy ra: b = 5 hoặc b = 6.

Nếu b = 5 ⟹ a + 16 = 20 ⟹ a = 4. Ta được số: 455.

Thử lại: 4255 là số không chia hết cho 9 nên 455 không phải số cần tìm.

Nếu b = 6 ⟹ a + 16 = 24 ⟹ a = 8. Ta được số: 855.

Thử lại: 855 chia hết cho 9 nên 855 là số cần tìm.

Đáp Số: 855.