Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(D\) có \(AB = AD = \frac{1}{2}DC = a\). Gọi \(BF\) là đường phân giác trong của tam giác \(ABD\,\,\left( {F \in AD} \right)\).

a) \(C{A^2} = D{A^2} + D{C^2}\).

b) \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = a\sqrt 3 \).

c) \(\widehat {ABF} = 45^\circ \).

d) \(\left| {\overrightarrow {BF} } \right| \approx 2,08a\).

a) Đúng. Ta có \(C{A^2} = D{A^2} + D{C^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} = 5{a^2}\) (Theo định lí Pythagore).

b) Sai. Từ câu a) suy ra \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = a\sqrt 5 \).

c) Sai. Tương tự \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \).

Dễ thấy \(\Delta ABD\) vuông cân tại \(A\), do đó: \(\widehat {ABD} = 45^\circ  \Rightarrow \widehat {ABF} = 22,5^\circ \).

d) Sai. Xét \(\Delta ABF\) vuông tại \(A\), ta có: \(\left| {\overrightarrow {BF} } \right| = BF = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABF}}} = \frac{a}{{\cos 22,5^\circ }} \approx 1,08a\).