Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y = {x^3} + \frac{3}{x}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Vậy giá trị của \(m = 4\)

Hàm số xác định và liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Xét \(y' = 3{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}} = \frac{{3{x^4} - 3}}{{{x^2}}}\);

\(y' = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^4} - 3 = 0\\x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 1\\x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( 1 \right) = 4\\\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ + }}  =  + \infty \\\mathop {\lim y}\limits_{x \to  + \infty }  =  + \infty \end{array} \right.\)\( \Rightarrow m = \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 4\) tại \(x = 1\). Chọn Đ