Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số \({B^\prime }(t) = 20{t^3} - 300{t^2} + 1000t,\) trong đó \(t\) tính bằng giờ \((0 \le t \le 15),{B^\prime }(t)\) tính bằng khách/giờ.
(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-I, Cornelsen 2016). Sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.
a) Viết công thức của hàm số \(B(t)\) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với \(0 \le t \le 15\).
b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?
c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?
d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?
Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số \({B^\prime }(t) = 20{t^3} - 300{t^2} + 1000t,\) trong đó \(t\) tính bằng giờ \((0 \le t \le 15),{B^\prime }(t)\) tính bằng khách/giờ.
(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-I, Cornelsen 2016). Sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.
a) Viết công thức của hàm số \(B(t)\) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với \(0 \le t \le 15\).
b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?
c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?
d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Hàm số \({\rm{B}}({\rm{t}})\) là một nguyên hàm của hàm số \(B(t)\).
Ta có \(\int {{B^\prime }} (t)dt = \int {\left( {20{t^3} - 300{t^2} + 1000t} \right)} dt\)\( = \int 2 0{t^3}dt - \int 3 00{t^2}dt + \int 1 000tdt.\)
Suy ra \(B(t) = 5{t^4} - 100{t^3} + 500{t^2} + C\).
Vì sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội nên \(B(1) = 500\).
Do đó, \(5 \cdot {1^4} - 100 \cdot {1^3} + 500 \cdot {1^2} + C = 500\), suy ra \(C = 95\).
Vậy công thức của hàm số \({\rm{B}}({\rm{t}})\) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội là
\(B(t) = 5{t^4} - 100{t^3} + 500{t^2} + 95(0 \le t \le 15).\)
b) Ta có \(B(3) = 5 \cdot {3^4} - 100 \cdot {3^3} + 500 \cdot {3^2} + 95 = 2300\).
Vậy sau 3 giờ có 2300 khách tham dự lễ hội.
c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số \({\rm{B}}({\rm{t}})\) trên đoạn [0;15].
Ta có \({B^\prime }({\rm{t}}) = 20{{\rm{t}}^3} - 300{{\rm{t}}^2} + 1000{\rm{t}}\).
Trên khoảng \((0;15),{B^\prime }({\rm{t}}) = 0\) khi \(t = 5\) hoặc \({\rm{t}} = 10\).
\(B(0) = 95;B(5) = 3220;B(10) = 95;B(15) = 28220.{\rm{ }}\)
Do đó, \({\max _{[0;15]}}B(t) = 28220\) tại \(t = 15\).
Vậy số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 28220 khách sau 15 giờ.
d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số \({B^\prime }({\rm{t}})\) trên đoạn [0 ; 15].
Ta có \({B^{\prime \prime }}(t) = {\left( {20{t^3} - 300{t^2} + 1000t} \right)^\prime } = 60{t^2} - 600t + 1000\).
Trên khoảng \((0;15),{{\rm{B}}^{\prime \prime }}({\rm{t}}) = 0\) khi \(t = \frac{{15 - 5\sqrt 3 }}{3}\) hoặc \(t = \frac{{15 + 5\sqrt 3 }}{3}\).
\({{\rm{B}}^\prime }(0) = 0;B\left( {\frac{{15 - 5\sqrt 3 }}{3}} \right) \approx 962,25;B\left( {\frac{{15 + 5\sqrt 3 }}{3}} \right) \approx - 962,25;{\rm{B}}(15) = 15000.{\rm{ }}\)
Do đó, \({\max _{[0;15]}}{B^\prime }(t) = 15000\) tại \(t = 15\).
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Hàm số h(t) là một nguyên hàm của hàm số \(v({\rm{t}})\).
Ta có: \(\int v (t)dt = \int {\left( { - 0,1{t^3} + {t^2}} \right)} dt = - 0,1\int {{t^3}} dt + \int {{t^2}} dt = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C\)
Suy ra \(h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C\).
Vi cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên \({\rm{h}}(0) = 5\), suy ra \({\rm{C}} = 5\).
Vậy công thức xác định hàm số h(t) là: \(h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)\).
b) Xét hàm số \(h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5(t \ge 0)\).
Ta có \(h(t) = v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2};h(t) = 0\) khi \(t = 0\) hoặc \({\rm{t}} = 10\).
Bảng biến thiên của hàm số \(h(t)\) trên \([0; + \infty )\) như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài 10 tuần.
c) Từ bảng biến thiên ở câu b, ta thấy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là \(\frac{{265}}{3}\) cm .
d) Xét hàm tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua: \(v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2}(t \ge 0)\).
Ta có \({v^{\prime \prime }}({\rm{t}}) = - 0,3{{\rm{t}}^2} + 2{\rm{t}};{\rm{v}}\) (t) \( = 0\) khi \({\rm{t}} = 0\) hoặc \({\rm{t}} = \frac{{20}}{3}\).
Bảng biến thiên của hàm số \(v(t)\) trên \([0; + \infty )\) như sau:
Từ bảng biến thiên ta suy ra vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao \(\frac{{400}}{{27}}\;{\rm{cm}}\).
Lời giải
a) Gọi \(h(t)\) là độ cao của quả bóng tại thời điểm \(t(h(t)\) tính theo mét, \(t\) tính theo giây). Khi đó, ta có:
\(h(t) = \int {( - 9,8t + 19,6)} {\rm{d}}t = - 4,9{t^2} + 19,6t + C\)
Mà quả bóng được ném lên từ độ cao \(24,5\;{\rm{m}}\) tức là tại thời điểm \(t = 0\) thì \(h = 24,5\) hay \(h(0) = 24,5\). Suy ra \(C = 24,5\).
Vậy công thức tính độ cao \(h(t)\) của quả bóng theo thời gian \(t\) là: \(h(t) = - 4,9{t^2} + 19,6t + 24,5\)
b) Khi quả bóng chạm đất thì \(h(t) = 0\). Ta có: \( - 4,9{t^2} + 19,6t + 24,5 = 0\). Giải phương trình ta được \(t = - 1;t = 5\). Mà \(t > 0\) nên \(t = 5\).
Vậy sau 5 giây kể từ khi được ném lên thì quả bóng chạm đất.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo