Câu hỏi:

08/08/2025 10 Lưu

Một con lắc lò xo dao động điểu hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 1 , có vận tốc tức thời cho bởi \(v(t) = 4\cos t\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(v(t)\) tính bằng centimét/giây. Tại thời điểm \(t = 0\), con lắc đó ở vị trí cân bằng.

Một con lắc lò xo dao động điểu hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 1 (ảnh 1)

Phuơng trình chuyển động của con lắc đó đuợc xác định bằng cách nào?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Giả sử con lắc chuyển động theo phương trình: \(s = s(t)\). Suy ra \({s^\prime }(t) = v(t)\), do đó \(s(t)\) là một nguyên hàm của \(v(t)\).

Ta có: \(\int v (t){\rm{d}}t = \int 4 \cos t\;{\rm{d}}t = 4\int {\cos } t\;{\rm{d}}t = 4\sin t + C\)

Suy ra \(s(t) = 4\sin t + C\).

Tại thời điểm \(t = 0\), ta có \(s(0) = 0\), tức là \(4\sin 0 + C = 0\), hay \(C = 0\).

Vậy phương trình chuyển động của con lắc là: \(s(t) = 4\sin t\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Ta có \(v(t) = \int a \;{\rm{d}}t = \int 2 \;{\rm{d}}t = 2t + C\).

Vì \(v(0) = 10\) nên \(C = 10\). Suy ra \(v(t) = 2t + 10\).

Ta có \(s(t) = \int v (t){\rm{d}}t = \int {(2t + 10)} {\rm{d}}t = {t^2} + 10t + C\).

Ta có \(s(0) = 0\) nên \(C = 0\). Suy ra \(s(t) = {t^2} + 10t\).

Ta có \(s(3) = {3^2} + 10.3 = 39(\;{\rm{m}})\).

Vậy trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, xe đi được \(39\;{\rm{m}}\).

Lời giải

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {{h^\prime }} (t){\rm{d}}t = \int {\frac{1}{{216}}} \left( {5{t^2} - 120t + 480} \right){\rm{d}}t = \frac{1}{{216}}\int {\left( {5{t^2} - 120t + 480} \right)} {\rm{d}}t = \frac{5}{{216}}\int {{t^2}} \;{\rm{d}}t - \frac{{120}}{{216}}\int t \;{\rm{d}}t + \frac{{480}}{{216}}\int {\rm{d}} t\\ = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C\end{array}\)

Suy ra \(h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + C\).

Tại thời điểm \(t = 0\), mực nước trong hồ chứa là \(6\;{\rm{m}}\) nên \(h(0) = 6\), suy ra \(C = 6\).

Vậy mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số: \(h(t) = \frac{5}{{648}}{t^3} - \frac{5}{{18}}{t^2} + \frac{{20}}{9}t + 6(0 \le t \le 24)\)

b) Ta tìm \({\min _{[0;24]}}h(t)\) và \({\max _{[0;24]}}h(t)\).

- \({h^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow 5{t^2} - 120t + 480 = 0\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 24t + 96 = 0 \Leftrightarrow t = 12 - 4\sqrt 3 \) hoă̆c \(t = 12 + 4\sqrt 3 \).

- Bảng biến thiên:

Mực nược trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) (ảnh 2)

Do đó, ta có: \({\min _{[0;24]}}h(t) = \min \{ h(0);h(12 + 4\sqrt 3 )\}  = h(12 + 4\sqrt 3 ) \approx 0,9\);

\({\max _{[0;24]}}h(t) = \max \{ h(24);h(12 - 4\sqrt 3 )\}  = h(12 - 4\sqrt 3 ) \approx 11,1\)

Vậy mực nước trong hồ chứa cao nhất khoảng \(11,1\;{\rm{m}}\) và thấp nhất khoảng \(0,9\;{\rm{m}}\).

c) Ta tìm \({\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t)\).

- \({h^{\prime \prime }}(t) = \frac{1}{{216}}(10t - 120)\);

\({h^{\prime \prime }}(t) = 0{\rm{ khi }}t = 12.{\rm{ }}\)

- Bảng biến thiên của hàm số \({h^\prime }(t)\) :

Mực nược trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) (ảnh 3)

Do đó, ta có: \({\max _{[0;24]}}{h^\prime }(t) = \max \left\{ {{h^\prime }(0);{h^\prime }(24)} \right\} = {h^\prime }(24) = \frac{{20}}{9}\).

Vậy mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi \(t = 0\) và \(t = 24\). Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là \(\frac{{20}}{9}\;{\rm{m}}/{\rm{h}}\).