Cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 - ta{\rm{ `}}\;}\end{array}} \right.\) \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {t^\prime }}\\{y = 7 + 4{t^\prime }}\\{z = 9{t^\prime }}\end{array}} \right.\)

a) Tim vectơ chỉ phương \(\vec a\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) lần lượt của d và d'.

b) Tính tích vô hướng \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }} \). Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng d và d '?

a) Đường thẳng d đi qua \({\rm{M}}(7;3;2)\) và có vectơ chí phương \(\vec a = (4; - 2; - 2)\)

Đường thắng d' đi qua \({\rm{N}}(3;5;4)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (2; - 1; - 1) = \frac{1}{2}\vec a\)

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng d' ta được

\(\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}\) (luôn đúng). Suy ra điếm \({\rm{M}} \in {{\rm{d}}^\prime }\).

Vậy \({\rm{d}} \equiv d\) '.

b) Đường thắng d đi qua \({\rm{M}}(0;0;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (3;3;4)\)

Đường thẳng d' đi qua \({\rm{N}}(2;9;5)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (3;3;4) = \vec a\)

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng \({{\rm{d}}^\prime }\) ta có:

\(\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}\) (vô lí). Suy ra \(M \notin {d^\prime }\).

Vậy d // d'.

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}(1;2;3)\) và có \({\vec u_1} = (5; - 1;2)\) là vectơ chỉ phương. Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}(2;4;1)\) và có \({\vec u_2} = (10; - 2;4)\) là vectơ chỉ phương. Ta có: \(2{\vec u_1} = (10; - 2;4) = {\vec u_2}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (1;2; - 2)\) và \(\frac{1}{5} \ne \frac{2}{{ - 1}}\) nên \({\vec u_1},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không cùng phương. Vậy \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}(2;3; - 4)\) và có \({\vec u_1} = (3;2;1)\) là vectơ chỉ phương. Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}( - 2;1;2)\) và có \({\vec u_2} = (2;1; - 3)\) là vectơ chỉ phương. Ta có: \(\frac{2}{3} \ne \frac{1}{2}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) không cùng phương; \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 4; - 2;6),\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 3}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}3&2\\2&1\end{array}} \right|} \right) = ( - 7;11; - 1){\rm{. }}\)

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 7) \cdot ( - 4) + 11 \cdot ( - 2) + ( - 1) \cdot 6 = 0\) nên \({\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).

c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}( - 3;1;2)\) và có \({\vec u_1} = (1; - 1;2)\) là vectơ chỉ phương. Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}(6;8; - 1)\) và có \({\vec u_2} = (3;2; - 1)\) là vectơ chi phương. Ta có:

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (9;7; - 3),\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\3&2\end{array}} \right|} \right) = ( - 3;7;5).\)

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 3) \cdot 9 + 7 \cdot 7 + 5 \cdot ( - 3) = 7 \ne 0\) nên \({\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.