Bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng lớp 12 (có lời giải)

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1;1;2)\).

Đường thẳng \({d^\prime }\) có vectơ chỉ phương \({\vec a^\prime } = (2;2;4) = 2\vec a\).

Thay toạ độ điểm \(M\) vào phương trình của \({d^\prime }\), ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 2 + 2{t^\prime }}\\{2 = 5 + 2{t^\prime }}\\{1 = 1 + 4{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^\prime } =  - \frac{1}{2}}\\{{t^\prime } =  - \frac{3}{2}}\\{{t^\prime } = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{ (vô nghiệm)}}{\rm{. }}\)Suy ra \(M\) không thuộc \({d^\prime }\). Vậy \(d//{d^\prime }\).

b ) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1;1;2)\).

Đường thẳng \({d^\prime }\) có vectơ chỉ phương \({\vec a^\prime } = (3;3;6) = 3\vec a\).

Thay toạ độ điểm \(M\) vào phương trình của \({d^\prime }\), ta được: \(\frac{{1 - 2}}{3} = \frac{{2 - 3}}{3} = \frac{{1 - 3}}{6}{\rm{. }}\)

Phương trình nghiệm đúng, suy ra \(M\) thuộc \({d^\prime }\). Vậy \(d \equiv {d^\prime }\).

a) Đường thẳng d đi qua \({\rm{M}}(7;3;2)\) và có vectơ chí phương \(\vec a = (4; - 2; - 2)\)

Đường thắng d' đi qua \({\rm{N}}(3;5;4)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (2; - 1; - 1) = \frac{1}{2}\vec a\)

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng d' ta được

\(\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}\) (luôn đúng). Suy ra điếm \({\rm{M}} \in {{\rm{d}}^\prime }\).

Vậy \({\rm{d}} \equiv d\) '.

b) Đường thắng d đi qua \({\rm{M}}(0;0;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (3;3;4)\)

Đường thẳng d' đi qua \({\rm{N}}(2;9;5)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (3;3;4) = \vec a\)

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng \({{\rm{d}}^\prime }\) ta có:

\(\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}\) (vô lí). Suy ra \(M \notin {d^\prime }\).

Vậy d // d'.

a) Đường thắng d và d' lằn lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_1}}  = (2; - 1; - 3),\overrightarrow {{a_2}}  = (4;7;11)\).

Ta có \(\frac{2}{4} \ne \frac{{ - 1}}{7}\) nên \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} \) không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Xét phương trình d' ở dạng tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 4{t^\prime }}\\{y = 7{t^\prime }}\\{z =  - 1 + 11{t^\prime }}\end{array}} \right.\)

Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 + 4{t^\prime } = 2t}\\{7{t^\prime } = 1 - t}\\{ - 1 + 11{t^\prime } = 2 - 3t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{t^\prime } - 2t =  - 2}\\{7{t^\prime } + t = 1}\\{11{t^\prime } + 3t = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^\prime } = 0}\\{t = 1}\\{11.0 + 3.1 = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Suy ra hệ có nghiệm duy nhắt.

Do đó d và d' cắt nhau.

b) Đường thắng d và d' lần lượt có vectơ chí phương là \(\overrightarrow {{a_1}}  = (1;2;2),\overrightarrow {{a_2}}  = (3;2;9)\).

Ta có \(\frac{1}{3} \ne \frac{2}{2}\) do đó \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} \) không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Ta có phương trình đường thắng d và d' viết dưới dạng tham số lần lượ là:

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 + t = 2 + 3{t^\prime }}\\{1 + 2t = 1 + 2{t^\prime }}\\{1 + 2t = 1 + 9{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 3{t^\prime } =  - 2}\\{2t - 2{t^\prime } = 0}\\{2t - 9{t^\prime } = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{{t^\prime } = 1}\\{2.1 - 9.1 = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) (vô nghiệm).

Suy ra hệ vô nghiệm. Do đó d và d' chéo nhau.

a) Đường thằng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;2; - 1),\overrightarrow {{a^\prime }}  = (1;4;9)\)

b) \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }}  = 1.1 + 2 \cdot 4 + ( - 1) \cdot 9 = 0\). Do đó \({\rm{d}} \bot {{\rm{d}}^\prime }\).

a) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = (3;5;1)\) và \({\vec a^\prime } = (1;1; - 8)\).

Ta có \(\vec a \cdot {\vec a^\prime } = 3 + 5 - 8 = 0\). Vậy \(d\) và \({d^\prime }\) vuông góc với nhau.

b) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = (3;5;1)\) và \({\vec a^\prime } = (2;1;1)\).

Ta có \(\vec a \cdot {\vec a^\prime } = 6 + 5 + 1 \ne 0\). Vậy \(d\) và \({d^\prime }\) không vuông góc với nhau.

a) Đường thắng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1; - 3;1),\overrightarrow {{a^\prime }}  = (1;1;2)\).

Ta có \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }}  = 1.1 + ( - 3) \cdot 1 + 1.2 = 0\).

Do đó d và d' vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (7;3;1),\overrightarrow {{a^\prime }}  = (2;2;2)\).

Ta có \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }}  = 7.2 + 3.2 + 1.2 = 22 \ne 0\).

Do đó d và d' không vuông góc với nhau.

a) Đường thắng d đi qua \({\rm{M}}(1; - 1; - 2)\) và có vectơ chí phương \(\vec a = (1;2;1)\) Đường thắng d' đi qua \({\rm{N}}(2;3;0)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (2;4;2) = 2\vec a\) Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng d' ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 2 + 2{t^\prime }}\\{ - 1 = 3 + 4{t^\prime }}\\{ - 2 = 2{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^\prime } = \frac{{ - 1}}{2}}\\{{t^\prime } =  - 1{\rm{ (vô lí )}}{\rm{. }}}\\{{t^\prime } =  - 1}\end{array}} \right.} \right.\)Suy ra d// d'.

b) Đường thắng d đi qua \({\rm{M}}(1;2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1;2;2)\)

Đường thẳng d' đi qua \({\rm{N}}(2;1;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (1;5;1)\)

\({\rm{Có  }}\overrightarrow {MN}  = (1; - 1; - 2).\left[ {\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right] = ( - 8;1;3){\rm{.  Có  }}\overrightarrow {MN}  \cdot \left[ {\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right] = 1 \cdot ( - 8) + ( - 1) \cdot 1 + ( - 2) \cdot 3 =  - 15 \ne 0.{\rm{ }}\)

Do đó d và d' chéo nhau.