Bài tập Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12 (có lời giải)

Đáp án: \[P = 0\]

Ta có \[d{\rm{//}}\Delta \].

Chọn \[A\left( {2;\, - 1;\,1} \right) \in \left( d \right),\,B\left( {3;\, - 2;\,1} \right) \in \left( \Delta  \right)\].

\[\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\, - 1;\,0} \right)\]

Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng \[\left( d \right)\] và \[\left( \Delta  \right)\] qua \[A\left( {2;\, - 1;\,1} \right)\] và có VTPT \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right] = \left( { - 2;\, - 2;\,4} \right) =  - 2\left( {1;\,1;\, - 2} \right)\] là:

\[1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z + 1 = 0\].

Đáp án: \[h - k = 0\]

\[H \in {\Delta _1} \Leftrightarrow H\left( {3 + 2t;t;1 + t} \right)\].

\[K \in {\Delta _2} \Leftrightarrow K\left( {1 + m;2 + 2m;m} \right)\].

Ta có\[\overrightarrow {HK}  = \left( {m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1} \right)\].

Đường thẳng \[d\] có một VTCP là \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1; - 2} \right)\].

\[\Delta  \bot d \Leftrightarrow \]\[\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {HK}  = 0\]\[ \Leftrightarrow m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2 \Rightarrow \overrightarrow {HK}  = \left( { - t - 4;t - 2; - 3} \right).\]

Ta có\[H{K^2} = {\left( { - t - 4} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27,\forall t \in \mathbb{R}\]

\[ \Rightarrow minHK = \sqrt {27} ,\]đạt được khi \[t =  - 1\].

Khi đó ta có \[\overrightarrow {HK}  = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)\], suy ra \[\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0.\]

Đáp án: khoảng cách từ \(A\)đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) bằng \(3\).

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z - 12}}{{ - 1}}\) có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u  = \left( {2\,;\,2\,;\, - 1} \right)\].

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 2y - 3z - 3 = 0\)có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n  = \left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\].

Ta có: \[\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} \,.\,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|\,.\,\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{14}}\].

Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \(A\)lên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Khi đó tam giác \(\Delta MAH\) vuông tại \[H\] nên \[\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha  \right)} \right) = \sin \widehat {AMH} = \frac{{AH}}{{AM}}\].

\[ \Rightarrow AH = AM\,.\,\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha  \right)} \right) = 3\].

Vậy khoảng cách từ \(A\)đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) bằng \(3\).