Bài tập Vận dụng phương trình đường thẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Để vận động viên đó bắn trúng hồng tâm thì trục d phải đi qua hồng tâm.

Thay điểm A(8; −19; 6m + 4) vào phương trình trục d ta được:

\(\frac{{8 - 1}}{1} = \frac{{ - 19 - 2}}{{ - 3}} = \frac{{6m + 4 - 3}}{{ - 5}}\) 6m = −36 m = −6.

Đáp án đúng là: A

Phương trình tham số của đường cáp là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1 - 2k\\z = 5 + 6k\end{array} \right.\).

Sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm M thì AM = 4.5 = 20 (m).

Vì M d M(−2; 1 – 2k; 5 + 6k) nên suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2k;6k} \right)\).

Do 2 vectơ \(\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u \) cùng hướng nên k > 0.

Mà AM = 20 \(\sqrt {{0^2} + 4{k^2} + 36{k^2}} = 20\) 40k² = 400 \( \Leftrightarrow k = \pm \sqrt {10} \).

Vì k > 0 \(k = \sqrt {10} \).

Vậy tọa độ \(M\left( { - 2;1 - 2\sqrt {10} ;5 + 6\sqrt {10} } \right)\).

Khi đó a + 3b + c = \( - 2 + 3\left( {1 - 2\sqrt {10} } \right) + 5 + 6\sqrt {10} = 6\).

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng AB đi qua điểm A(10; 3; 0) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\).

Ta có \(B\left( {550;{y_B};{z_B}} \right)\) nằm trên đường thẳng AB.

Theo giải thiết ta có x_B = 550 nên \(\frac{{550 - 10}}{2} = \frac{{{y_B} - 3}}{{ - 2}} = \frac{{{z_B}}}{1}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_B} = - 537\\{z_B} = 270\end{array} \right.\).

Vậy B(550; −537; 270).

Do đó \(AB = \sqrt {{{\left( {550 - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 537 - 3} \right)}^2} + {{\left( {270 - 0} \right)}^2}} = 810\).

Đáp án đúng là: A

Phương trình quỹ đạo chuyển động của tên lửa là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.\).

Vì M(4; 5; 8) thuộc phương trình đường thẳng nên mục tiêu nằm trên quỹ đạo chuyển động của tên lửa.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng AB đi qua điểm A(200; 685; 436) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {440; - 135;38} \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 200 + 440t\\y = 685 - 135t\\z = 436 + 38t\end{array} \right.\).

Thay tọa độ điểm C vào phương trình đường thẳng AB ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}420 = 200 + 440t\\617,5 = 685 - 135t\\450 = 436 + 38t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = \frac{1}{2}\\t = \frac{7}{{19}}\end{array} \right.\).

Hệ này vô nghiệm nên điểm C không thuộc đường ngắm AB, anh Hùng ngắm thấy con gà lôi tía này.

Đáp án đúng là: C

Phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 3t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\).

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta thấy tọa độ các điểm M, N, Q không thỏa mãn phương trình. Do đó viên đạn không bắn trúng mục tiêu ở các điểm này.

Thay tọa độ điểm P vào phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}4 = 2 + t\\7 = 1 + 3t\\ - 5 = - 1 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 2\). Vậy viên đạn bắn trúng mục tiêu đặt ở điểm P.

Đáp án đúng là: C

Vì M là giao điểm của d và d' nên ta có \(d':\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 4k\\2 = 2 + 2k\\3t = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\k = 0\end{array} \right.\) M(1; 2; 6).

Vậy S = 1 + 2 + 6 = 9.

Đáp án đúng là: A

Phương trình tham số của đường cáp treo là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\).

Với x_B = 20 B(20; 10; 8); y_C = 120 C(130; 120; 63).

Do đó \(BC = \sqrt {{{110}^2} + {{110}^2} + {{55}^2}} = 165\).

Vậy vận tốc của cabin đi là v = 165 : 55 = 3 (m/s).