Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 150 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz trong không gian có gốc toạ độ O tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục toạ độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm M(0; 16; 12) đến điểm N(0; −24; −18).

Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                 b) Sai.               c) Đúng.                  d) Sai.

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {0; - 40; - 30} \right) = 10 \cdot \left( {0; - 4; - 3} \right)\).

Chọn \(\overrightarrow v = \frac{1}{{10}} \cdot \overrightarrow {MN} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng MN.

Phương trình tham số của đường thẳng MN là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 16 - 4t}\\{z = 12 - 3t}\end{array}} \right.\).

b) Sai. Gọi A và B lần lượt là vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát.

Vì A thuộc đường thẳng chuyển động của thiên thạch MN nên toạ độ của A có dạng theo tham số t: A(0; 16 – 4t; 12 – 3t).

Ngoài thực tế, khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vị trí giới hạn tối đa mà hệ thống quan sát có thể bắt đầu theo dõi được là độ cao so với mực nước biển cộng với bán kính Trái Đất là 6400 + 6600 = 13000 km.

Ứng với hệ trục tọ độ chọn đơn vị là 1000 km, bán kính vùng theo dõi này tương đương với 13 đơn vị. Do đó, điểm A nằm trên biên của vùng theo dõi phải thoả mãn: OA = 13

0² + (16 – 4t)² + (12 – 3t)² = 169 ⇔ 25t² – 200t + 400 = 169

⇔25t² – 200t + 231 = 0 ⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,4}\\{t = 6,6}\end{array}} \right.\).

Gọi A là vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát. B là vị trí cuối cùng thiên thạch còn trong phạm vi theo dõi.

Với t = 1,4 thì A(0; 10,4; 7,8).

Với t = 6,6 thì B(0; −10,4; −7,8).

Vậy vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là A(0; 10,4; 7,8).

c) Đúng. Ta có A(0; 10,4; 7,8).

Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là AB.

\(AB = \sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 10,4 - 10,4} \right)}^2} + {{\left( { - 7,8 - 7,8} \right)}^2}} = 26\).

Vì một đơn vị độ dài trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1000 km, nên khoảng cách thực tế là: 26 ∙1000 = 26000 km.

d) Sai. Ta có: \(MN = \sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 24 - 16} \right)}^2} + {{\left( { - 18 - 12} \right)}^2}} = 50\).

Thời gian di chuyển từ M đến N là: \(t = \frac{{MN}}{{AB}} \cdot 6 = \frac{{50}}{{26}} \cdot 6 = \frac{{150}}{{13}} \approx 11,54\) (phút).