Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ toạ độ Oxyz. Điểm A là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc đường thẳng a: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 3 + t}\\{y = 1 + t}\\{z =  - 2 + 4t}\end{array}} \right.\) và a cắt mặt bàn (P): x + y – 2z + 6 = 0 tại điểm F. Độ dài chân bàn FA = 80\(\sqrt 3 \) cm.

Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Sai.                    c) Đúng.         d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 2} \right)\).

b) Sai. Đường thẳng a có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;4} \right)\).

c) Sai. Phương trình tham số của đường thẳng a: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 3 + t}\\{y = 1 + t}\\{z =  - 2 + 4t}\end{array}} \right.\).

Ta có: a \( \cap \) (P) = F. Khi đó F(−3 + t; 1 + t; −2 + 4t) thay vào phương trình mặt phẳng (P), ta được: – 3 + t + 1 + t – 2(− 2 + 4t) + 6 = 0 ⇔ t = \(\frac{4}{3}\).

Þ \(F\left( {\frac{{ - 5}}{3};\frac{7}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).

Vì A thuộc đường thẳng a nên toạ độ của điểm  A được biểu diễn theo tham số u như sau: A(− 3 + u, 1 + u, − 2 + 4u).

Mặt khác FA = 80\(\sqrt 3 \).

Nên \(\sqrt {{{\left( { - 3 + u + \frac{5}{3}} \right)}^2} + {{\left( {1 + u - \frac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 4u - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}}  = 80\sqrt 3 \)

 \(\sqrt {{{\left( {u - \frac{4}{3}} \right)}^2} + {{\left( {u - \frac{4}{3}} \right)}^2} + 16 \cdot {{\left( {u - \frac{4}{3}} \right)}^2}}  = 80\sqrt 3  \Leftrightarrow \sqrt {18 \cdot {{\left( {u - \frac{4}{3}} \right)}^2}}  = 80\sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow {\left( {u - \frac{4}{3}} \right)^2} = \frac{{3200}}{3} \Leftrightarrow \left| {u - \frac{4}{3}} \right| = \sqrt {\frac{{3200}}{3}}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u - \frac{4}{3} = \frac{{40\sqrt 6 }}{3}}\\{u + \frac{4}{3} =  - \frac{{40\sqrt 6 }}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = \frac{{40\sqrt 6  + 4}}{3}}\\{u = \frac{{40\sqrt 6  - 4}}{3}}\end{array}} \right.\).

Trường hợp 1:\(u = \frac{{40\sqrt 6  + 4}}{3}\) nên \(A\left( {\frac{{ - 5 + 40\sqrt 6 }}{3};\frac{{7 + 40\sqrt 6 }}{3};\frac{{10 + 160\sqrt 6 }}{3}} \right)\) khi đó độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là:

d(A, (P)) = \(\frac{{\left| {\frac{{ - 5 + 40\sqrt 6 }}{3} \cdot 1 + \frac{{7 + 40\sqrt 6 }}{3} \cdot 1 + \frac{{10 + 160\sqrt 6 }}{3} \cdot \left( { - 2} \right) + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 80\).

Trường hợp 2: u = \(\frac{{4 - 40\sqrt 6 }}{3}\) nên \(A\left( {\frac{{ - 5 - 40\sqrt 6 }}{3};\frac{{7 - 40\sqrt 6 }}{3};\frac{{10 - 160\sqrt 6 }}{3}} \right)\).

d(A, (P)) = \(\frac{{\left| {\frac{{ - 5 - 40\sqrt 6 }}{3} \cdot 1 + \frac{{7 - 40\sqrt 6 }}{3} \cdot 1 + \frac{{10 - 160\sqrt 6 }}{3} \cdot \left( { - 2} \right) + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 80\).

Vậy độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là 80 cm.

d) Đúng. Gọi H là hình chiếu vuông góc của F lên mặt đất.

Toạ độ của điểm H là \(\left( {\frac{{ - 5}}{3};\frac{7}{3};0} \right)\).