Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ Oxyz. Tính góc giữa tia sáng có phương trình \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1 + t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\) và mặt sàn sân khấu có phương trình \(z = 0\).

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Suy ra O là trung điếm của \({\rm{AC}},{\rm{BD}}\).

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra \(SO \bot AC\), \(SO \bot BD\) nên \(SO \bot (ABCD)\).

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vi ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên \({\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}} = 115\sqrt 2 \).

Xét tam giác SOB vuông tại \(O\), có \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}}  = \sqrt {{{219}^2} - {{(115\sqrt 2 )}^2}}  = 7\sqrt {439} \)

Ta có \(A( - 115\sqrt 2 ;0;0),B(0; - 115\sqrt 2 ;0),C(115\sqrt 2 ;0;0),S(0;0;7\sqrt {439} )\)

Ta có \(\overrightarrow {SA}  = ( - 115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} ),\overrightarrow {SB}  = (0; - 115\sqrt 2 ; - 7\sqrt {439} )\),

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SC}  = (115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} )\\{\rm{Ta c\'o  }}[\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 7\sqrt {439} }\\{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&{ - 115\sqrt 2 }\\{ - 7\sqrt {439} }&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 115\sqrt 2 }&0\\0&{ - 115\sqrt 2 }\end{array}} \right|} \right)\\ = ( - 805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450)\end{array}\)

\([\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\\0&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&0\\{ - 7\sqrt {439} }&{115\sqrt 2 }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 115\sqrt 2 }\\{115\sqrt 2 }&0\end{array}} \right|} \right) = (805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450)\)

Mặt phắng (SAB) nhận \(\vec n = \frac{1}{5}[\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ] = ( - 161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phắng (SBC) nhận \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = \frac{1}{5}[\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ] = (161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290)\) làm vectơ pháp tuyến.

Do đó

\(\begin{array}{l}\cos ((SAB),(SBC)) = \frac{{\left| { - {{(161\sqrt {878} )}^2} + {{(161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}} \right|}}{{\sqrt {{{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}}  \cdot \sqrt {{{(161\sqrt {878} )}^2} + {{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}} }}\\ = \frac{{{{5290}^2}}}{{{{(161\sqrt {878} )}^2} + {{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}}} \approx 0,3807\end{array}\)

a) Phương trình chính tắc của đường cáp là: \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\).

b) Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) nên độ dài AM bằng \(4,5t(\;{\rm{m}})\). Vì vậy \(|\overrightarrow {AM} | = 4,5t(t \ge 0)\).

Do hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\vec u\) là cùng phương và cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM}  = k\vec u\) với \(k\) là số thực dương nào đó. Suy ra: \(|\overrightarrow {AM} | = k|\vec u| = k \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + 1}  = 3k\). Do đó \(3k = 4,5t\). Suy ra \(k = \frac{{3t}}{2}\). Vì thế, ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \frac{{3t}}{2}\vec u = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\).

Gọi toạ độ của điểm \(M\) là \(\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AM}  = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + {x_A}}\\{{y_M} =  - 3t + {y_A}}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2} + {z_A}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + 10}\\{{y_M} =  - 3t + 3}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy điểm \(M\) có toạ độ là \(\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).

c) Do \({x_B} = 550\) nên \(3t + 10 = 550\), tức là \(t = 180\) (s). Do đó, ta có điểm \(B(550; - 537;270)\).

Vậy \(AB = \sqrt {{{(550 - 10)}^2} + {{( - 537 - 3)}^2} + {{(270 - 0)}^2}}  = \sqrt {656100}  = 810(\;{\rm{m}})\).