Biết rằng hai đường tròn \(\left( {O;4cm} \right)\) và \(\left( {O';1cm} \right)\) tiếp xúc ngoài. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài \(BC\) của hai đường tròn, \(B \in \left( O \right)\), \(C \in \left( {O'} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(BC\) bằng

Chọn B

Lưu ý: Có cách kẻ tiếp tuyến chung tại \(A\) nữa.

Đây là câu trong đề thi TS tỉnh Bắc Ninh năm 2021-2022.

Ta có \(B \in (O)\), \(C \in (O')\) và \(BC = CM = 4\;{\rm{cm}}\)nên \(C\) là trung điểm của \(BM\).

Lại có \(OB \bot BM\) và \(CO' \bot BC\) (\(BC\) là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn)

\( \Rightarrow CO'{\rm{ // }}OB\).

Xét \(\Delta OBM\) có \(C\) là trung điểm của \(BM\) và \(CO\prime {\rm{ // }}OB\)

Suy ra \(O\prime \) là trung điểm của \(OM\).

Do đó \(CO\prime \) là đường trung bình của \(\Delta OBM\).

\( \Rightarrow CO\prime = \frac{1}{2}OB\) hay \(OB = R = 2r\)

Và \(OM = 2OO' = 2(R + r) = 6r\)

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta OBM\) vuông tại \(B\) có

\(O{B^2} + B{M^2} = O{M^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {2r} \right)^2} + {8^2} = {\left( {6r} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 4{r^2} + 64 = 36{r^2}\)

\( \Leftrightarrow 32{r^2} = 64\)\( \Leftrightarrow {r^2} = 2\)

\( \Leftrightarrow r = \sqrt 2 \)

Suy ra \(R + r = 3r = 3\sqrt 2 \left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Chọn C

Gọi \(I\) là trung điểm của \(GF\).

Xét tam giác \(AGF\) vuông tại \(A\) có: \(IA = IF = IG\) nên \[\widehat {IAF} = \widehat {IFA}\].

Mà \(\widehat {IFA} = \widehat {CFE}\)

Nên \(\widehat {IAF} = \widehat {CFE}\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\widehat C = \widehat {CAE}\).

Mà \(\widehat C + \widehat {CFE} = 90^\circ \) nên \(\widehat {CAE} + \widehat {IAF} = 90^\circ \).

Hay \(EA\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(GF\).