Gọi \(r\)và \(R\) lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của một hình tam giác đều. Tỉ số \(\frac{r}{R}\) là:

Chọn B

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \[AB{\rm{ }} = {\rm{ }}9{\rm{ }}cm;{\rm{ }}AC{\rm{ }} = {\rm{ }}12{\rm{ }}cm\]\( \Rightarrow BC = 15\,cm\)

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = 54\,c{m^2}\)

Lại có: \({S_{ABC}} = {S_{OAB}} + {S_{OAC}} + {S_{OBC}}\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}r.AB + \frac{1}{2}r.AC + \frac{1}{2}r.BC\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}r.\left( {AB + AC + BC} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}r.{C_{ABC}}\)

\( \Rightarrow r = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{{C_{ABC}}}}\)

\( \Rightarrow r = \frac{{2.54}}{{9 + 12 + 15}} = \frac{{108}}{{36}} = 3\,cm\)

Chọn B

Để khách sạn cách đều cả ba con đường thì cần phải được xây vào đúng vị trí tâm nội tiếp \(I\) của tam giác \(ABC.\)

Khi đó cho chiều cao hạ từ đỉnh \(I\) xuống các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) của các tam giác \(IBC,\,\,ICA,\,\,IAC\) đều bằng bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC.\)

Do đó \({S_{ABC}} = {S_{IBC}} + {S_{ICA}} + {S_{IAB}}\)

\( = \frac{1}{2}r\left( {AB + AC + BC} \right) = \frac{{rc}}{2}.\)

Suy ra \(r = \frac{{2{S_{ABC}}}}{C} = 300\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Vậy khách sạn sẽ cách mỗi con đường là 300 m.