Câu hỏi:

15/08/2025 24 Lưu

Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\) và \((P):x + z + 24 = 0\);

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y =  - 1 + 2t}\\{z =  - 2 - t}\end{array}} \right.\) và \((P):2x + 4y - 2z + 23 = 0\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2;1)\). Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;0;1)\).

Ta có \(\sin (d,(P)) = \frac{{|2.1 + 2.0 + 1.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Suy ra (d,(P))=45°.

b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1;2; - 1)\). Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2;4; - 2)\).

Ta có \(\sin (d,(P)) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 1\). Suy ra (d,(P))=90°.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD}  = (a;0;0)\).

Các vectơ \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} \) lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng SA và CD nên cos(SA,CD)=a2a+00+a320a22+02+a322a2+02+02=a22aa=12( do a>0).

Suy ra (SA,CD)=60°

b) Ta có AC=(a;a;0) .

Xét vecto [SA,AC]=0a32a0;a32a20a;a20aa =a232;a232;a22

Khi đó, \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {SD}  = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

 Ta có sin(SD,(SAC))=a2a232+aa232+a32a22a22+a2+a322a2322+a2322+a222

=a332a2a272=4214. Suy ra (SD,(SAC))28°

Lời giải

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' với O(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), C(0; a; 0), O'(0; 0; 3a), a > 0 (ảnh 1)

a) Ta có: \(\overrightarrow {B{B^\prime }}  = \overrightarrow {O{O^\prime }}  = (0;0;3a)\). Suy ra \({x_{{B^\prime }}} = {x_B} = 2a\), \({y_{{B^\prime }}} = {y_B} = 0,{z_{{B^\prime }}} - 0 = 3a\), tức là \({B^\prime }(2a;0;3a)\).

b) Vì \(B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a)\) nên mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) có phương trình là

\(\frac{x}{{2a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{3a}} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z - 6a = 0.\)

c) Mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3;6;2)\).

Do \({B^\prime }(2a;0;3a),C(0;a;0)\) nên \(\overrightarrow {{B^\prime }C}  = ( - 2a;a; - 3a)\), suy ra vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }C}  = ( - 2a;a; - 3a)\) cùng phương với vectơ \(\vec u = ( - 2;1; - 3)\). Vì thế vectơ \(\vec u = ( - 2;1; - 3)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({B^\prime }C\). Suy ra sin của góc giữa đường thẳng \({B^\prime }C\) và mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) bằng:

\(\frac{{|3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot 1 + 2 \cdot ( - 3)|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}{\rm{. }}\)