Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\) và \((P):x + z + 24 = 0\);

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y =  - 1 + 2t}\\{z =  - 2 - t}\end{array}} \right.\) và \((P):2x + 4y - 2z + 23 = 0\).

Tính góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\);

b) d: \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)

c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y =  - 1 + 2t}\\{z =  - 2 - t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }}\\{z = 10{t^\prime }.}\end{array}} \right.\)

Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 11 + 3t}\\{y =  - 11 + t}\\{z =  - 21 - 2t}\end{array}} \right.\) và \((P):6x + 2y - 4z + 7 = 0\);

b) \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\) và \((P):2x + 2y - 4z + 1 = 0\);

c) d: \(\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}\) và \((P):2y - 4z + 7 = 0\).

Tính góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \(\left( {{P^\prime }} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \((P):x + y - 2z + 9 = 0\) và \(\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0\);

b) \((P):x + y + 24 = 0\) và \(\left( {{P^\prime }} \right):y + z + 24 = 0\);

c) \((P):2x + 4y - z + 23 = 0\) và \(\left( {{P^\prime }} \right):3x + 5y + 26z + 2025 = 0\).

Tính góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) trong mỗi trường hợp sau:

a) d: \(\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}\);

b) \(d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 9 - 10t}\\{y = 7 - 10t}\\{z = 15 + 5t}\end{array}} \right.\)

c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 23 + 2t}\\{y = 57 + t}\\{z = 19 - 5t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 24 + {t^\prime }}\\{y = 6 + {t^\prime }}\\{z = {t^\prime }}\end{array}} \right.\)

Cho hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = (2;1;3),\overrightarrow {{a^\prime }}  = (3;2; - 8)\)

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian.

b) Vectơ \(\vec b = ( - 2; - 1; - 3)\) có phải là một vectơ chỉ phương của d không?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\cos \left( {{\rm{d}},{{\rm{d}}^\prime }} \right) = \) \(\left| {\cos \left( {\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right)} \right|\).

d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.