Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P):3x + 7y - z + 4 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):x + y - 10z + 2025 = 0$;

b) $(P):x + y - 2z + 9 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0$;

c) $(P):x + z + 3 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3y + 3z + 5 = 0$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 42 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Mặt phẳng $({\rm{P}})$ và $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\vec{n} = (3; 7; - 1), \vec{n^{'}} = (1; 1; - 10) \Rightarrow \cos ((P), (P^{'})) = \frac{| 3 \cdot 1 + 7 \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 10) |}{\sqrt{3^{2} + 7^{2} + {(- 1)}^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 10)}^{2}}} = \frac{20}{\sqrt{59} \cdot \sqrt{102}}$

Suy ra ((P), (P'))

\approx {75,06}^{°}

b) Mặt phằng $({\rm{P}})$ và $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\vec{n} = (1; - 2; 1), \vec{n^{'}} = (3; 1; - 5) \Rightarrow \cos ((P), (P^{'})) = \frac{| 1 \cdot 3 + (- 2) \cdot 1 + 1 \cdot (- 5) |}{\sqrt{1 + {(- 2)}^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 1^{2} + {(- 5)}^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{210}}$

Suy ra ((P), (P'))

\approx {73,98}^{°}

c) Mặt phẳng $({\rm{P}})$ và $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\vec{n} = (1; 0; 1), \vec{n^{'}} = (0; 3; 3) \Rightarrow \cos ((P), (P^{'})) = \frac{| 1.0 + 0.3 + 1.3 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 3^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{36}} = \frac{1}{2}$

Suy ra

((P), (P^{'})) = 60^{°}

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: $(\alpha ):2x + 2y - 4z + 1 = 0{\rm{ và }}(\beta ):x - z - 5 = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

Mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2;2; - 4)$ và $\overrightarrow {{n^\prime }} = (1;0; - 1)$.

Ta có: $\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\vec n \cdot \overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}}{{|\vec n| \cdot \left| {\overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + ( - 4) \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {} 3}}{2}{\rm{. }}$ Vậy

((α), (β)) = 30^{°}

Câu 2

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$;

b) d: $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }}\\{z = 10{t^\prime }.}\end{array}} \right.$

Xem đáp án

Lời giải

a) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;1)$ và ${\vec a^\prime } = (1;1;2)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.1 + 2.1 + 1.2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{6}$. Suy ra $(d, d^{'}) \approx 33^{°} 33^{'}$ .

b) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;2)$ và ${\vec a^\prime } = ( - 2; - 2;1)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}$. Suy ra $(d, d^{'}) \approx 63^{°} 36^{'}$

c) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2; - 1)$ và ${\vec a^\prime } = (2;4;10)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot 10|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{10}^2}} }} = 0$. Suy ra $(d, d^{'}) = 90^{°}$

Câu 3