Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = - 1 + {t_1}}\\{y = 4 + \sqrt 3 {t_1}}\\{z = 0}\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = - 1 + \sqrt 3 {t_2}}\\{y = 4 + {t_2}}\\{z = 5}\end{array}\quad \left( {{t_1},{t_2}} \right.} \right.$ là tham số);

b) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.$ ( $t$ là tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{1}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 42 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Hai đường thắng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chí phương lằn lượt là $\overrightarrow {{u_1}} = (1;\sqrt 3 ;0),\overrightarrow {{u_2}} = (\sqrt 3 ;1;0)$.

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|1 \cdot \sqrt 3 + \sqrt 3 \cdot 1 + 0 \cdot 0|}}{{\sqrt {{1^2} + {{(\sqrt 3 )}^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Suy ra $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 30^{°}$ .

b) Hai đường thắng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chí phương lằn lượt là $\overrightarrow {{u_1}} = (2;1; - 1),\overrightarrow {{u_2}} = (3;1; - 2)$.

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {21} }}{{14}}$. Suy ra $(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 11^{°}$ .

c) Hai đường thắng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chí phương lần lượt là $\overrightarrow {{u_1}} = (1;1; - 1)$ và $\overrightarrow {{u_2}} = ( - 1;3;1)$.

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 1) + 1 \cdot 3 + ( - 1) \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt {11} }} = \frac{{\sqrt {33} }}{{33}}$. Suy ra $(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 80^{°}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: $(\alpha ):2x + 2y - 4z + 1 = 0{\rm{ và }}(\beta ):x - z - 5 = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

Mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2;2; - 4)$ và $\overrightarrow {{n^\prime }} = (1;0; - 1)$.

Ta có: $\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\vec n \cdot \overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}}{{|\vec n| \cdot \left| {\overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + ( - 4) \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {} 3}}{2}{\rm{. }}$ Vậy

((α), (β)) = 30^{°}

Câu 2

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$;

b) d: $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }}\\{z = 10{t^\prime }.}\end{array}} \right.$

Xem đáp án

Lời giải

a) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;1)$ và ${\vec a^\prime } = (1;1;2)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.1 + 2.1 + 1.2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{6}$. Suy ra $(d, d^{'}) \approx 33^{°} 33^{'}$ .

b) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;2)$ và ${\vec a^\prime } = ( - 2; - 2;1)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}$. Suy ra $(d, d^{'}) \approx 63^{°} 36^{'}$

c) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2; - 1)$ và ${\vec a^\prime } = (2;4;10)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot 10|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{10}^2}} }} = 0$. Suy ra $(d, d^{'}) = 90^{°}$

Câu 3