Cho hình chóp \[O.ABC\] có ba cạnh \[OA\], \[OB\], \[OC\] đôi một vuông góc và \[OA = OB = OC = a\]. Gọi \[M\] là trung điểm cạnh \[AB\]. Góc tạo bởi hai vectơ \[\overrightarrow {BC} \] và \[\overrightarrow {OM} \] bằng

Chọn A

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2;4;2} \right)\).

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;2;1} \right)\).

Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Chọn B

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Tam giác \(SAO\) vuông : \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Gắn tọa độ như hình vẽ

\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {a;0;0} \right)\), \(C\left( {a;a;0} \right)\), \(D\left( {0;a;0} \right)\), \(O\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)\), \(S\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\) nên \(G\left( {\frac{a}{2};\frac{{5a}}{6};\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)\).

Ta có : \(\overrightarrow {AS}  = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)\) \( = \frac{a}{2}\left( {1;1;\sqrt 6 } \right)\), \(\overrightarrow {BG}  = \left( {\frac{{ - a}}{2};\frac{{5a}}{6};\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right) = \frac{a}{6}\left( { - 3;5;\sqrt 6 } \right)\).

Góc giữa đường thẳng \(BG\) với đường thẳng \(SA\) bằng:

\(\cos \left( {BG;SA} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {AS} } \right|}}{{BG.AS}}\)\( = \frac{{\left| { - 3 + 5 + 6} \right|}}{{\sqrt {40} .\sqrt 8 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).