Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[(P)\]có phương trình \[x - 2y + 2z - 5 = 0\]. Xét mặt phẳng \[(Q):x + (2m - 1)z + 7 = 0\], với \[m\]là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của \[m\] để \[(P)\] tạo với \[(Q)\] góc \[\frac{\pi }{4}\].

Đáp án: \[\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right.\]

Mặt phẳng \[(P)\], \[(Q)\] có vectơ pháp tuyến lần lượt là\[\overrightarrow {{n_p}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\], \[\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;0;2m - 1} \right)\]

Vì \[(P)\] tạo với \[(Q)\] góc \[\frac{\pi }{4}\] nên 

$\begin{array}{l}\text{cos}\frac{\pi }{4}=\left|\text{cos}\left(\overrightarrow{n_p};\overrightarrow{n_Q}\right)\right|\iff \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\left|1+2(2m-1)\right|}{3.\sqrt{1+{(2m-1)}^2}}\\ \iff 2{\left(4m-1\right)}^2=9\left(4m^2-4m+2\right)\\ \iff 4m^2-20m+16=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=4\end{array}\right..\end{array}$