Trong không gian với hệ trục tọa độ\[Oxyz\], cho điểm \[H\left( {2;1;2} \right)\], \[H\] là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ \[O\] xuống mặt phẳng\[\left( P \right)\]. Tính số đo góc giữa mặt \[\left( P \right)\] và mặt phẳng \[\left( Q \right):x + y - 11 = 0\].

Đáp án: $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1+2t\\ z=2-2t\end{array}\right.$

Ta có $\underset{BC}{\to }=(0; -2; -2), \underset{BD}{\to }=(-1; -1; -1)$

Mặt phẳng $\left(BCD\right)$ có một véctơ pháp tuyến là 

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(0;2;-2\right)$.

Đường thẳng đi qua B và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1+2t\\ z=2-2t\end{array}\right.$.

Đáp án: \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5};\frac{4}{5}} \right)\)

Giao điểm  của \({d_1}\)  và \({d_2}\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\\\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x - y = 0\\x - z =  - 1\\x - 2y = 3\\x - 2z =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{5}\\y = \frac{2}{5}\\z = \frac{4}{5}\end{array} \right.\)