Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {3;1;7} \right),\,B\left( {5;5;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y - z + 4 = 0\). Điểm \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(MA = MB = \sqrt {35} .\) Biết \(M\) có hoành độ nguyên, tính \(OM\).

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\),\(AC = a\sqrt 3 \). Hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(BC\), \(A'H = a\sqrt 5 \). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(B'C\). Tính \(\cos \varphi \).

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác cân đỉnh \(A\). Biết \(BC = a\sqrt 3 \) và $\widehat{ABC}={30}^o$, cạnh bên \(AA' = a\). Gọi \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {CM}  = 3\overrightarrow {CC'} \). Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AB'M} \right)\), khi đó tính \(\sin \alpha \).

Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có tâm \(O\). Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và điểm \(M\) thuộc đoạn \(OI\) sao cho \(MO = 2MI\) (tham khảo hình vẽ). Tính sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {MC'D'} \right)\) và \(\left( {MAB} \right)\).

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[(P)\]có phương trình \[x - 2y + 2z - 5 = 0\]. Xét mặt phẳng \[(Q):x + (2m - 1)z + 7 = 0\], với \[m\]là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của \[m\] để \[(P)\] tạo với \[(Q)\] góc \[\frac{\pi }{4}\].

Trong không gian \[Oxyz\], phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng: \[\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t + 2\\y = 3t - 1\\z = 2t + 1\end{array} \right.\] và \[\left( \Delta  \right):\left\{ \begin{array}{l}x = m + 3\\y = 3m - 2\\z = 2m + 1\end{array} \right.\] có dạng \[x + ay + bz + c = 0\]. Tính \[P = a + 2b + 3c\].