Câu hỏi:

19/08/2025 35 Lưu

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {3;1;7} \right),\,B\left( {5;5;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y - z + 4 = 0\). Điểm \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(MA = MB = \sqrt {35} .\) Biết \(M\) có hoành độ nguyên, tính \(OM\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Đáp án: \(OM = 2\sqrt 2 \)

* Ta có : \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4; - 6} \right) = 2\left( {1;2; - 3} \right)\)

Gọi \(I\left( {4;3;4} \right)\) là trung điểm của \(AB\)

Phương trình mặt phẳng trung trực \(\left( Q \right)\) của \(AB\) là : \(\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y - 3} \right) - 3\left( {z - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y - 3z + 2 = 0\)

Gọi \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\). Đường thẳng \(d\) có \(1\) vpcp là \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( { - 2;0;0} \right)\), có phương trình là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = t\\z = t\end{array} \right.\)

* Gọi \(M \in \left( P \right):MA = MB\). Khi đó \(M \in {\rm{d}}\)và \(M\left( { - 2 + t;t;t} \right)\)

Theo giả thiết, ta có : \(MA = \sqrt {35} \) \( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {t - 5} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {t - 7} \right)}^2}}  = \sqrt {35} \)

\( \Leftrightarrow 3{t^2} - 26t + 40 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{20}}{3}\\t = 2 \Rightarrow M\left( {0;2;2} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(OM = 2\sqrt 2 \)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án: \(\cos \varphi  = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}\)
Media VietJack

Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với \(O \equiv A\) như hình vẽ, chọn \(a = 1\) đơn vị, khi đó ta có tọa độ điểm \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\) suy ra trung điểm của \(BC\) là \(H\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\), vì \(H\) là hình chiếu của \(A'\) nên suy ra tọa độ của \(A'\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)\). Ta tìm tọa độ \(B'\), gọi tọa độ \(B'\left( {x;y;z} \right)\) khi đó ta có \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {OB} \) nên tọa độ \(B'\left( {\frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)\). Ta cũng có \(\overrightarrow {B'C}  = \left( { - \frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)\) và \(\overrightarrow {A'B}  = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)\). Từ đó ta có \(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {B'C} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {A'B} } \right|.\left| {\overrightarrow {B'C} } \right|}}\) \( = \frac{7}{{2.\sqrt 6 .\sqrt 8 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}\).

Lời giải

Đáp án: \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5};\frac{4}{5}} \right)\)

Giao điểm  của \({d_1}\)  và \({d_2}\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\\\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x - y = 0\\x - z =  - 1\\x - 2y = 3\\x - 2z =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{5}\\y = \frac{2}{5}\\z = \frac{4}{5}\end{array} \right.\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP