Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {3;1;7} \right),\,B\left( {5;5;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y - z + 4 = 0\). Điểm \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(MA = MB = \sqrt {35} .\) Biết \(M\) có hoành độ nguyên, tính \(OM\).

Đáp án: \(OM = 2\sqrt 2 \)

* Ta có : \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4; - 6} \right) = 2\left( {1;2; - 3} \right)\)

Gọi \(I\left( {4;3;4} \right)\) là trung điểm của \(AB\)

Phương trình mặt phẳng trung trực \(\left( Q \right)\) của \(AB\) là : \(\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y - 3} \right) - 3\left( {z - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y - 3z + 2 = 0\)

Gọi \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\). Đường thẳng \(d\) có \(1\) vpcp là \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( { - 2;0;0} \right)\), có phương trình là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = t\\z = t\end{array} \right.\)

* Gọi \(M \in \left( P \right):MA = MB\). Khi đó \(M \in {\rm{d}}\)và \(M\left( { - 2 + t;t;t} \right)\)

Theo giả thiết, ta có : \(MA = \sqrt {35} \) \( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {t - 5} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {t - 7} \right)}^2}}  = \sqrt {35} \)

\( \Leftrightarrow 3{t^2} - 26t + 40 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{20}}{3}\\t = 2 \Rightarrow M\left( {0;2;2} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(OM = 2\sqrt 2 \)