Câu hỏi:

19/08/2025 135 Lưu

Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có tâm \(O\). Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và điểm \(M\) thuộc đoạn \(OI\) sao cho \(MO = 2MI\) (tham khảo hình vẽ). Tính sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {MC'D'} \right)\) và \(\left( {MAB} \right)\).

(Trả lời ngắn) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A'B'C'D' và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO = 2MI (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack
Đáp án: \(\frac{{6\sqrt {85} }}{{85}}\)
Media VietJack

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là \(1\), ta được tọa độ các điểm như sau :

\(M\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{6}} \right)\)\(,C'\left( {0;1;0} \right)\)\(,D'\left( {1;1;0} \right)\) và \(A\left( {1;0;1} \right)\)\(,B\left( {0;0;1} \right)\).

Khi đó \({\overrightarrow n _{\left( {MC'D'} \right)}} = \left( {0;1;3} \right)\)\(;{\overrightarrow n _{\left( {MAB} \right)}} = \left( {0;5;3} \right)\) nên \(\cos \widehat {\left( {\left( {MAB} \right),\left( {MC'D'} \right)} \right)}\)\( = \frac{{\left| {5.1 + 3.3} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}\) \( = \frac{{7\sqrt {85} }}{{85}}\).

Suy ra \[\sin \widehat {\left( {\left( {MAB} \right),\left( {MC'D'} \right)} \right)}\]\[ = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{7\sqrt {85} }}{{85}}} \right)}^2}} \]\( = \frac{{6\sqrt {85} }}{{85}}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án: \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5};\frac{4}{5}} \right)\)

Giao điểm  của \({d_1}\)  và \({d_2}\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\\\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x - y = 0\\x - z =  - 1\\x - 2y = 3\\x - 2z =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{5}\\y = \frac{2}{5}\\z = \frac{4}{5}\end{array} \right.\)

Lời giải

Đáp án: -3x - 2y - 10z + 23 = 0

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương u=(-4; 1; 1).

Ta có: AM=(2; -3; 0); [AM, u] = (-3; -2; -10)

Mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d có vectơ pháp tuyến .

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là -3(x+1) - 2(y-3) - 10(z-2) = 0  -3x - 2y - 10z + 23 = 0