Trong không gian \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\] và \[d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1 + t}\\{y =  - t}\\{z =  - 2 + 3t}\end{array}} \right.\]cắt nhau. Lập phương trình mặt phẳng chứa \[d\] và \[d'\].

Đáp án: \[6x + 9y + z + 8 = 0\]

\[d\]có VTCP \[\overrightarrow u  = ( - 2;1;3)\]và đi qua \[M(1; - 2;4)\]

\[d'\]có VTCP \[\overrightarrow {u'}  = (1; - 1;3)\]và đi qua \[M'( - 1;0; - 2)\]

Từ đó ta có

\[\overrightarrow {MM'}  = ( - 2;2; - 6)\]

\[{\rm{[}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ] = (6;9;1) \ne \overrightarrow 0 \] và \[{\rm{[}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ].\overrightarrow {MM'}  = 0\]

Suy ra \[d\] cắt \[d'\].

Mặt phẳng \[(P)\] chứa \[d\] và \[d'\]đi qua giao điểm của \[d\] và \[d'\]; có VTPT \[\overrightarrow n {\rm{ = [}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ]\]

Từ phương trình đường thẳng \[d\] và \[d'\], ta có:

 \[\begin{array}{l}\frac{{ - 1 + t - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - t + 2}}{1} = \frac{{ - 2 + 3t - 4}}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 2 + t}}{{ - 2}} = \frac{{ - t + 2}}{1} = \frac{{ - 6 + 3t}}{3}\\ \Leftrightarrow t = 2\end{array}\]

Từ đó suy ra giao điểm I của \[d\] và \[d'\] là \[I(1; - 2;4)\].

 Khi đó ta có \[(P)\] đi qua \[I(1; - 2;4)\] và có VTPT \[\overrightarrow n {\rm{ = [}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ] = (6;9;1)\]

Phương trình mặt phẳng \[(P)\] cần tìm là

\[6(x - 1) + 9(y + 2) + (z - 4) = 0 \Leftrightarrow 6x + 9y + z + 8 = 0\]\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow P = a + 2b + 3c = 1 + 2.\left( { - 2} \right) + 3.1 = 0\\\end{array}\].