Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3\,;\,1\,;\,2} \right)\), \(B\left( { - 3\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 3z - 14 = 0\). Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Đáp án: \(d\left( {M\,,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = 4\)

Gọi \(M\left( {x\,;\,y\,;\,z} \right)\) là điểm cần tìm.

\(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 3\,;\,y - 1\,;\,z - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BM}  = \left( {x + 3\,;\,y + 1\,;\,z} \right)\).

Vì \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\) nên \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + z\left( {z - 2} \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 9 + {y^2} - 1 + {z^2} - 2z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11\].

\( \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).

Nhận xét thấy \(d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 3.1 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^3}} }} = \sqrt {11}  = R\).

\( \Rightarrow \left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(M\)

\( \Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\).

Vậy \(d\left( {M\,,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| 4 \right| = 4\).