Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), có \(AB = a,\,AD = a\sqrt 2 ,\)góc giữa \(A'C\)và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(30^\circ \). Gọi \(H\)là hình chiếu vuông góc của \(A\)trên \(A'B\)và \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(A'D.\) Tính góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {AHK} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right)\).

Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(A'C'\) là hình chiếu vuông góc của \(A'C\) trên $\left(ABCD\right)\Rightarrow (A\text{'}C,(ABCD\left)\right)=(A\text{'}C,A\text{'}C\text{'})=\widehat{CA\text{'}C\text{'}}={30}^0.$

Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=a\sqrt{3};\tan \widehat{CA\text{'}C\text{'}}=\frac{CC\text{'}}{A\text{'}C\text{'}}\Rightarrow CC\text{'}=a.$

Kết hợp với giả thiết ta được \(ABB'A'\) là hình vuông và có \(H\) là tâm.

Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(K\) trên \(A'D'\& A'A.\)

Ta có $\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A\text{'}{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}\Rightarrow AK=\frac{a\sqrt{6}}{3};A\text{'}K=\sqrt{A\text{'}{A}^2-A{K}^2}=\frac{a}{\sqrt{3}};$

$\frac{1}{K{F}^2}=\frac{1}{K{A}^2}+\frac{1}{A\text{'}{K}^2}\Rightarrow KF=\frac{a\sqrt{2}}{3};KE=\sqrt{A\text{'}{K}^2-K{F}^2}\Rightarrow KE=\frac{a}{3}.$

Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) thỏa mãn \(O \equiv A'\) còn \(D',{\rm{ }}B',{\rm{ }}A\) theo thứ tự thuộc các tia \(Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz.\) Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:

$A(0;0;a),B\text{'}(0;a;0),H(0;\frac{a}{2};\frac{a}{2}),K(\frac{a\sqrt{2}}{3};0;\frac{a}{3}),E(\frac{a\sqrt{2}}{3};0;0),F(0;0;\frac{a\sqrt{2}}{3}).$

Mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) là mặt phẳng \((yOz)\) nên có VTPT là \({\overrightarrow n _1} = (1;0;0);\)

Ta có $\left[\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH}\right]=\frac{a^2}{6}{\overrightarrow{n}}_2,{\overrightarrow{n}}_2(2;\sqrt{2};\sqrt{2}).$

Mặt phẳng \((AKH)\)có VTPT là \({\overrightarrow n _2} = (2;\sqrt 2 ;\sqrt 2 );\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {AHK} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right)\).

Ta có $cos\alpha =\left|cos({\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2)\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha ={45}^0.$