Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\]có \[AB = AC = a,{\rm{ }}BAC = 120^\circ \]. Gọi \[M,{\rm{ }}N\]lần lượt là trung điểm của \[B'C'\]và \[CC'\]. Biết thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]bằng \[\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\]. Gọi \[\alpha \]là góc giữa mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\]và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\], tính \[\cos \alpha \].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: (Trả lời ngắn) 29 bài tập Phương trình đường thẳng (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án: \[\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\]

(Trả lời ngắn) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = AC = a, BAC = 120 độ. Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của B'C' và CC' (ảnh 1)

Lấy \[H\] là trung điểm của \[BC\].

Ta có: \[{V_{ABC.A'BC'}} = CC'.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4} \Rightarrow CC = a\]vì \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}\].

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ. Ta có \[M \equiv O\].

\[M\left( {0\,;0\,;0} \right),{\rm{ }}A'\left( {\frac{a}{2}\,;0\,;0} \right),{\rm{ }}B'\left( {0\,;\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\,;0} \right),{\rm{ C'}}\left( {0; - \frac{{\sqrt 3 a}}{2};0} \right);{\rm{ }}A\left( {\frac{a}{2};0\,;a} \right);{\rm{ }}N\left( {0\,; - \frac{{\sqrt 3 a}}{2};\frac{a}{2}} \right)\].

Ta có: \[\left( {ABC} \right) \bot Oz\] nên \[\left( {ABC} \right)\] có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {MA} = \left( {\frac{a}{2};0;a} \right)\], \[\overrightarrow {MN} = \left( {0; - \frac{{\sqrt 3 a}}{2};\frac{a}{2}} \right)\].

Gọi \[{\overrightarrow v _1} = \frac{a}{2}\overrightarrow {MA} \Rightarrow {\overrightarrow v _1} = \left( {1;0;2} \right)\], \[{\overrightarrow v _2} = \frac{a}{2}\overrightarrow {MN} \Rightarrow {\overrightarrow v _2} = \left( {0; - \sqrt 3 ;1} \right)\].

Khi đó mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\] song song hoặc chứa giá của hai vectơ không cùng phương là ${\overrightarrow v _1}$ và ${\overrightarrow v _2}$ nên có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left[ {{{\overrightarrow v }_1},{{\overrightarrow v }_2}} \right] = \left( {2\sqrt 3 ; - 1; - \sqrt 3 } \right)\].

Vậy \[\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian \[Oxyz\], cho hai đường thẳng: ${d_1}:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}$, ${d_2}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}$. Tìm tọa độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án: $\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5};\frac{4}{5}} \right)$

Giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\\\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x - y = 0\\x - z = - 1\\x - 2y = 3\\x - 2z = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{5}\\y = \frac{2}{5}\\z = \frac{4}{5}\end{array} \right.$

Câu 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1; 3; 2) và đường thẳng d có phương trình $\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = 1 - 4 t \\ y = t \end{array} \\ z = 2 + t \end{cases}$ . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc đường thẳng d.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án: -3x - 2y - 10z + 23 = 0

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương $\underset{u}{\to} = (- 4; 1; 1)$ .

Ta có: $\underset{A M}{\to} = (2; - 3; 0); [\underset{A M}{\to}, \underset{u}{\to}] = (- 3; - 2; - 10)$

Mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d có vectơ pháp tuyến .

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là -3(x+1) - 2(y-3) - 10(z-2) = 0

\Leftrightarrow

-3x - 2y - 10z + 23 = 0

Câu 3