Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AC = 2a\), tam giác \(SAB\) và tam giác \(SCB\) lần lượt vuông tại \(A\), \(C\). Khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \(2a\). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCB} \right)\),
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AC = 2a\), tam giác \(SAB\) và tam giác \(SCB\) lần lượt vuông tại \(A\), \(C\). Khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \(2a\). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCB} \right)\),
Quảng cáo
Trả lời:

Đáp án: \(\frac{1}{3}\)

Chọn hệ trục tọa độ sao cho \[B\left( {0;0;0} \right)\], \[A\left( {a\sqrt 2 ;0;0} \right)\], \[C\left( {0;a\sqrt 2 ;0} \right)\], \[S\left( {x;y;z} \right)\].
Ta có \[\left( {ABC} \right):z = 0\], \[\overrightarrow {AS} = \left( {x - a\sqrt 2 ;y;z} \right)\], \[\overrightarrow {CS} = \left( {x;y - a\sqrt 2 ;z} \right)\]
Do \[\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AB} = 0\]\[ \Rightarrow \left( {x - a\sqrt 2 } \right)a\sqrt 2 = 0\]\[ \Rightarrow x = a\sqrt 2 \], \[d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = 2a\]\[ \Rightarrow z = 2a\] \[\left( {z > 0} \right)\]
\[\overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CB} = 0\]\[ \Rightarrow \left( {y - a\sqrt 2 } \right)a\sqrt 2 = 0\]\[ \Rightarrow y = a\sqrt 2 \]\[ \Rightarrow S\left( {a\sqrt 2 ;a\sqrt 2 ;2a} \right)\].
Ta có \[\overrightarrow {AS} = \left( {0;a\sqrt 2 ;2a} \right)\], \[\overrightarrow {CS} = \left( {a\sqrt 2 ;0;2a} \right)\], \[\overrightarrow {BS} = \left( {a\sqrt 2 ;a\sqrt 2 ;2a} \right)\].
\[\left( {SBC} \right)\] có 1 vtpt \[\vec n = \left( { - \sqrt 2 ;0;1} \right)\], \[\left( {SAB} \right)\] có 1 vtpt \[\vec m = \left( {0;\sqrt 2 ; - 1} \right)\]\[ \Rightarrow \cos \varphi \]\[ = \frac{1}{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}\]\[ = \frac{1}{3}\].
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải

Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với \(O \equiv A\) như hình vẽ, chọn \(a = 1\) đơn vị, khi đó ta có tọa độ điểm \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\) suy ra trung điểm của \(BC\) là \(H\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\), vì \(H\) là hình chiếu của \(A'\) nên suy ra tọa độ của \(A'\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)\). Ta tìm tọa độ \(B'\), gọi tọa độ \(B'\left( {x;y;z} \right)\) khi đó ta có \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {OB} \) nên tọa độ \(B'\left( {\frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)\). Ta cũng có \(\overrightarrow {B'C} = \left( { - \frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)\) và \(\overrightarrow {A'B} = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)\). Từ đó ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {B'C} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {A'B} } \right|.\left| {\overrightarrow {B'C} } \right|}}\) \( = \frac{7}{{2.\sqrt 6 .\sqrt 8 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}\).
Lời giải
Đáp án: \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5};\frac{4}{5}} \right)\)
Giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\\\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x - y = 0\\x - z = - 1\\x - 2y = 3\\x - 2z = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{5}\\y = \frac{2}{5}\\z = \frac{4}{5}\end{array} \right.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.