Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AC = 2a\), tam giác \(SAB\) và tam giác \(SCB\) lần lượt vuông tại \(A\), \(C\). Khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \(2a\). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCB} \right)\),

Đáp án: \(\frac{1}{3}\)

Chọn hệ trục tọa độ sao cho \[B\left( {0;0;0} \right)\], \[A\left( {a\sqrt 2 ;0;0} \right)\], \[C\left( {0;a\sqrt 2 ;0} \right)\], \[S\left( {x;y;z} \right)\].

Ta có \[\left( {ABC} \right):z = 0\], \[\overrightarrow {AS}  = \left( {x - a\sqrt 2 ;y;z} \right)\], \[\overrightarrow {CS}  = \left( {x;y - a\sqrt 2 ;z} \right)\]

Do \[\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AB}  = 0\]\[ \Rightarrow \left( {x - a\sqrt 2 } \right)a\sqrt 2  = 0\]\[ \Rightarrow x = a\sqrt 2 \], \[d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = 2a\]\[ \Rightarrow z = 2a\] \[\left( {z > 0} \right)\]

\[\overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CB}  = 0\]\[ \Rightarrow \left( {y - a\sqrt 2 } \right)a\sqrt 2  = 0\]\[ \Rightarrow y = a\sqrt 2 \]\[ \Rightarrow S\left( {a\sqrt 2 ;a\sqrt 2 ;2a} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {AS}  = \left( {0;a\sqrt 2 ;2a} \right)\], \[\overrightarrow {CS}  = \left( {a\sqrt 2 ;0;2a} \right)\], \[\overrightarrow {BS}  = \left( {a\sqrt 2 ;a\sqrt 2 ;2a} \right)\].

\[\left( {SBC} \right)\] có 1 vtpt \[\vec n = \left( { - \sqrt 2 ;0;1} \right)\], \[\left( {SAB} \right)\] có 1 vtpt \[\vec m = \left( {0;\sqrt 2 ; - 1} \right)\]\[ \Rightarrow \cos \varphi \]\[ = \frac{1}{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}\]\[ = \frac{1}{3}\].