Câu hỏi:

19/08/2025 37 Lưu

Cho khối tứ diện \(ABCD\) có \(BC = 3\), \(CD = 4\), ABC^=ADC^=BCD^=900. Góc giữa đường thẳng \(AD\) và \(BC\) bằng 600. Tính côsin góc giữa hai phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) .

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Đáp án: \[\frac{{2\sqrt {43} }}{{43}}\]

Cho khối tứ diện ABCD có BD = 3, CD = 4, góc ABC = ADC = BCD = 90 độ. Góc giữa đường thẳng AD và BC bằng 60 độ (ảnh 1)

Dựng \[AO \bot \left( {BCD} \right)\] khi đó \[O\] là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật \[BCDO\].

Góc giữa đường thẳng \(AD\) và \(BC\) là góc giữa đường thẳng \(AD\) và \(OD\) và bằng ADO^=600

Xét tam giác \[ADO\] vuông tại \[O\]: tan600=OAODOA=33.

Gắn hệ tọa độ \[Oxyz\] vào hình chóp như hình vẽ.

Ta có:

\[O\left( {0;0;0} \right)\]; \[B\left( {4;0;0} \right)\]; \[D\left( {0;3;0} \right)\]; \[C\left( {4;3;0} \right)\]; \[A\left( {0;0;3\sqrt 3 } \right)\].

\[\overrightarrow {AB}  = \left( {4;0; - 3\sqrt 3 } \right)\]; \[\overrightarrow {BC}  = \left( {0;3;0} \right)\]; \[\overrightarrow {AD}  = \left( {0;3; - 3\sqrt 3 } \right)\]; \[\overrightarrow {CD}  = \left( { - 4;0;0} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nhận véctơ \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {9\sqrt 3 ;0;12} \right)\] làm véctơ pháp tuyến.

Mặt phẳng \[\left( {ADC} \right)\] nhận véctơ \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {0;12\sqrt 3 ;12} \right)\] làm véctơ pháp tuyến.

Nên \[\cos \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ADC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{4}{{\sqrt {43} .2}} = \frac{{2\sqrt {43} }}{{43}} \cdot \]

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án: \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5};\frac{4}{5}} \right)\)

Giao điểm  của \({d_1}\)  và \({d_2}\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\\\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x - y = 0\\x - z =  - 1\\x - 2y = 3\\x - 2z =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{5}\\y = \frac{2}{5}\\z = \frac{4}{5}\end{array} \right.\)

Lời giải

Đáp án: -3x - 2y - 10z + 23 = 0

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương u=(-4; 1; 1).

Ta có: AM=(2; -3; 0); [AM, u] = (-3; -2; -10)

Mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d có vectơ pháp tuyến .

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là -3(x+1) - 2(y-3) - 10(z-2) = 0  -3x - 2y - 10z + 23 = 0