Cho khối tứ diện \(ABCD\) có \(BC = 3\), \(CD = 4\), $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=\widehat{BCD}={90}^0$. Góc giữa đường thẳng \(AD\) và \(BC\) bằng ${60}^0$. Tính côsin góc giữa hai phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) .

Dựng \[AO \bot \left( {BCD} \right)\] khi đó \[O\] là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật \[BCDO\].

Góc giữa đường thẳng \(AD\) và \(BC\) là góc giữa đường thẳng \(AD\) và \(OD\) và bằng $\widehat{ADO}={60}^0$

Xét tam giác \[ADO\] vuông tại \[O\]: $\tan {60}^0=\frac{OA}{OD}\Rightarrow OA=3\sqrt{3}.$

Gắn hệ tọa độ \[Oxyz\] vào hình chóp như hình vẽ.

Ta có:

\[O\left( {0;0;0} \right)\]; \[B\left( {4;0;0} \right)\]; \[D\left( {0;3;0} \right)\]; \[C\left( {4;3;0} \right)\]; \[A\left( {0;0;3\sqrt 3 } \right)\].

\[\overrightarrow {AB}  = \left( {4;0; - 3\sqrt 3 } \right)\]; \[\overrightarrow {BC}  = \left( {0;3;0} \right)\]; \[\overrightarrow {AD}  = \left( {0;3; - 3\sqrt 3 } \right)\]; \[\overrightarrow {CD}  = \left( { - 4;0;0} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nhận véctơ \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {9\sqrt 3 ;0;12} \right)\] làm véctơ pháp tuyến.

Mặt phẳng \[\left( {ADC} \right)\] nhận véctơ \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {0;12\sqrt 3 ;12} \right)\] làm véctơ pháp tuyến.

Nên \[\cos \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ADC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{4}{{\sqrt {43} .2}} = \frac{{2\sqrt {43} }}{{43}} \cdot \]