Có 6 quả bóng có cùng kích thước và khối lượng, mỗi quả bóng ghi một trong các số từ 10 đến 15 được để vào hai chiếc hộp. Hộp màu xanh chứa các quả bóng ghi số chẵn, hộp màu vàng chứa các quả bóng ghi số lẻ. Hai bạn Hà và Mạnh chơi một trò chơi như sau: Hà lấy ngẫu nhiên một quả bóng ở hộp màu xanh, Mạnh lấy ngẫu nhiên một quả bóng ở hộp màu vàng và xem số được ghi trên hai quả bóng, bạn nào lấy được quả bóng có số lớn hơn thì thắng.

a) Mô tả không gian mẫu của phép thử trên.

b) Tính xác suất của biến cố B: “Hà chọn được quả bóng có số lớn hơn của Mạnh”.

Gọi vận tốc của xe tải là \[x\] km/h (điều kiện \(x > 0).\)

Vận tốc của xe con là \(x + 10\) (km/h).

Thời gian đi từ \[A\] đến \[B\] của xe tải, xe con lần lượt là \(\frac{{200}}{x}\) giờ và \(\frac{{200}}{{x + 10}}\) giờ.

Vì xe tải xuất phát trước xe con 40 phút \( = \frac{2}{3}\) giờ và hai xe đến \[B\] cùng lúc nên ta có phương trình \(\frac{{200}}{x} - \frac{{200}}{{x + 10}} = \frac{2}{3}\).

Giải phương trình:

\(\frac{{200}}{x} - \frac{{200}}{{x + 10}} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{{200\left( {x + 10} \right) - 200x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{{200x + 2\,\,000 - 200x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{{2\,\,000}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{2}{3}\)

\(2x\left( {x + 10} \right) = 3 \cdot 2\,\,000\)

\({x^2} + 10x - 3000 = 0.\)

Giải phương trình được \({x_1} = - 60\) (không thỏa mãn), \({x_2} = 50\)(thỏa mãn).

Thời gian xe tải đi từ \[A\] đến \[B\] là \(\frac{{200}}{{50}} = 4\) giờ.

Vậy hai xe đến \[B\] lúc 12 giờ.

Đáp án: 12.

Gọi \(x\) (giây) là thời gian di chuyển của mỗi người \(\left( {0 < x < 500} \right).\)

Quãng đường người thứ nhất đi được là: \(BE = 2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Quãng đường người thứ hai đi được là: \(AD = 1,5x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Ta có \(AE = AB - BE = 1\,\,000 - 2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Khoảng cách giữa hai người là nhỏ nhất khi DE ngắn nhất.

Xét \(\Delta ADE\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore, ta có:

\(D{E^2} = A{D^2} + A{E^2} = {\left( {1,5x} \right)^2} + {\left( {1\,\,000 - 2x} \right)^2} = 2,25{x^2} + 4{x^2} - 4\,\,000x + 1\,\,000\,\,000\)

 \( = 6,25{x^2} - 4\,\,000x + 1\,\,000\,\,000 = 6,25\left( {{x^2} - 640x + 102\,\,400} \right) + 360\,\,000\)

 \( = 6,25{\left( {x - 320} \right)^2} + 360\,\,000.\)

Ta có: \({\left( {x - 320} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \(6,25{\left( {x - 320} \right)^2} + 360\,\,000 \ge 360\,\,000.\)

Do đó \(D{E^2} \ge 360\,\,000\) nên \(DE \ge 600\).

Dấu “=” xảy ra khi \[{\left( {x - 320} \right)^2} = 0\] hay \(x = 320.\)

Vậy sau \[320\] giây thì khoảng cách giữa hai người là nhỏ nhất.