Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thoả mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\) và \(a + b + c + ab + bc + ca = 6.\) Tính giá trị của biểu thức \[A = \frac{{{a^9} + {b^{11}} + {c^{2025}}}}{{{a^{2023}} + {b^{2024}} + {c^{2025}}}}.\]

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB < AC\,,\) đường cao \(AH\,.\) Từ \(H\) kẻ \(HM \bot AB\,\,\left( {M \in AB} \right)\,.\) Kẻ \(HN \bot AC\,\,\left( {N \in AC} \right)\,.\)

a) Chứng minh tứ giác \[AMHN\] là hình chữ nhật .

b) Trên tia đối của tia \[MH\] lấy điểm \[P\] sao cho \[M\] là trung điểm của \[PH.\] Chứng minh tứ giác \(APMN\) là hình bình hành.

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(HC\,,\) lấy \(K\) trên tia \(AI\) sao cho \(I\) là trung điểm của \(AK\,.\) Chứng minh \(MNCK\) là hình thang cân.

Ao Bà Om, hay Ao Vuông là một thắng cảnh độc đáo và nổi tiếng ở tỉnh Trà Vinh, Việt Nam. Mặt ao nước trong xanh và phẳng lặng được phủ bởi hoa sen, hoa súng. Ao được bao bọc xung quanh bởi các gò cát mấp mô với các hàng cây sao, cây dầu cổ thụ hàng trăm năm tuổi có rễ nổi lên khỏi mặt đất tạo nên những hình thù kì lạ. Ao có hình chữ nhật, rộng \[x\] mét, dài \(\left( {x + 200} \right)\) mét, được đào ở trung tâm miếng đất hình vuông có cạnh là \(\left( {x + 400} \right)\) mét. Hãy tính diện tích phần đất còn lại sau khi đào ao.

Cho hình bình hành \[ABCD\] có cạnh \(AB = 2AD.\) Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD.\]

a) Chứng minh rằng \(DMBN\) là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng \(AN\) là tia phân giác của góc \[DAB.\]

c) Gọi giao điểm của \(AN\) với \[DM\]là \[P,{\rm{ }}CM\] với \[BN\] là \[Q.\] Tìm điều kiện của hình bình hành\[ABCD\] để tứ giác \[PMQN\] là hình vuông.

Thầy Việt dự định mua \[x\] quyển vở để trao thưởng cho những học sinh tiến bộ cuối năm học, mỗi quyển vở giá \[y\] đồng. Nhưng khi đến cửa hàng thầy Việt thấy giá vở đã giảm 2000 đồng mỗi quyển nên quyết định mua thêm 30 quyển.

a) Tìm đa thức biểu thị số tiền thầy Việt phải trả cho cửa hàng.