Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\)

a) Hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

b) Hàm số luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).

c) Trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\) hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1.

d) Gọi \({m_0}\) là giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = {2^{f\left( x \right)}} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {3;4} \right]\) bằng \( - 3\). Khi đó \({m_0} \in \left( { - 5;0} \right)\).

Hàm số có tập xác định \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

 Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \).

b)   ĐÚNG

Vì \(\left[ { - 1;0} \right] \subset D\) và hàm số liên tục trên \(\left[ { - 1;0} \right]\) nên luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn này.

c)    ĐÚNG

\(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\ln 2}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{3}{2} \notin \left[ { - 1;0} \right]\).

\(\begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = {\log _2}6\\f\left( 0 \right) = 1 < {\log _2}6\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) = 1\).

d)   SAI

TXĐ \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) chứa \(\left[ {3;4} \right]\).

\(g\left( x \right) = {2^{f\left( x \right)}} + m = {2^{{{\log }_2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}} + m = {x^2} - 3x + 2 + m\).

Có \(g'\left( x \right) = 2x - 3,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \notin \left[ {3;4} \right]\). Mà hàm số đồng biến trên \(\left[ {3;4} \right]\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 3 \right) = 2 + m\).

Theo đề ta có \(2 + m =  - 3 \Leftrightarrow m =  - 5\)

Vậy \({m_0} =  - 5 \in \left( { - 5;0} \right)\)là sai.