Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} - 3x + {m^2} - 2\) .

a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) bằng \( - 4\) khi \(m = 0\).

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(2x)\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) bằng \( - 4\) khi \(m = 0\).

c) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f(x + 1)\) trên đoạn \(\left[ { - 3;0} \right]\) bằng \(1\) khi \(m = 1\).

d) Có \(2024\) giá trị của nguyên của \(m \in \left( { - 2023;2024} \right)\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(h(x) = f(1 - 3x)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;0} \right]\) nhỏ hơn \(2\).

Giá trị lớn  nhất của hàm số trên đoạn  \(\left[ { - 1;1} \right]\) bằng \(0\).

b) Đúng

Ta có \(x \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right] \Leftrightarrow 2x \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Đặt \(t = 2x,t \in \left[ { - 1;1} \right]\) , \(f(t) = {t^3} - 3t - 2\)      

Theo câu a có giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  \(\left[ { - 1;1} \right]\) bằng \( - 4\) .

c) Đúng

\(x \in \left[ { - 3;0} \right] \Leftrightarrow x + 1 \in \left[ { - 2;1} \right]\)

Đặt   \(t = x + 1\), \(t \in \left[ { - 2;1} \right]\)   ;   \(f(t) = {t^3} - 3t - 1\)

\(f'(t) = 3{t^2} - 3\)      ; \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 1\end{array} \right.\)

Ta có \(f( - 2) =  - 3\); \(f( - 1) = 1\); \(f(1) =  - 3\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f(x + 1) = 1\).

d) Sai

Đặt \(t = 1 - 3x\) , \(x \in \left[ { - 2;0} \right] \Rightarrow t \in \left[ {1;7} \right]\)

\(f(t) = {t^3} - 3t + {m^2} - 2\), \(f'(t) = 3{t^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left[ {1;7} \right]\\t =  - 1 \notin \left[ {1;7} \right]\end{array} \right.\)

\(f(1) = {m^2} - 4\) ; \(f(7) = {m^2} + 320\)

\(\mathop {\min h(x)}\limits_{\left[ { - 2;0} \right]}  < 2 \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 2 \Leftrightarrow  - \sqrt 6  < m < \sqrt 6 \)

Do \(m \in \left( { - 2023;2024} \right)\), \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 2, - 1,0,1,2} \right\}\).Vậy có 5 giá trị thỏa mãn nên câu d sai